Question

【題目】編輯如下運(yùn)算程序：，，．

（1）設(shè)數(shù)列{}的各項(xiàng)滿足，求；

（2）由（1）猜想{}的通項(xiàng)公式；

（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意：，，，所以可以得到，令，于是得到：，再令，得到，再令，得到，所以根據(jù)可以得到：，，，；（2）由（1）得到的，，，，…，于是可以猜想得到數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（3）當(dāng)n=1時(shí)，，命題成立，假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)命題成立，即，那么需要驗(yàn)證當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立，

，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立，則對(duì)一切命題都成立。所以問題得證。

試題解析：（1），令，則；由，，得

再令，則，得

再令，則，得

（2）由（1）猜想：

（3）證明：①當(dāng)時(shí)，，另一方面，，所以當(dāng)時(shí)等式成立．

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，此時(shí)，

那么，當(dāng)時(shí)

所以當(dāng)時(shí)等式也成立．

由①②知，等式對(duì)都成立，猜想正確，即．