【題目】如圖,在平面直角坐標系中,橢圓經(jīng)過點,離心率為. 已知過點的直線與橢圓交于兩點

(1)求橢圓的方程;

(2)試問軸上是否存在定點,使得為定值.若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2).

【解析】分析:(1)先根據(jù)已知得到三個方程解方程組即得橢圓C的方程. (2)N(n,0),先討論l斜率不存在的情況得到n=4,再證明當N(4,0)時,對斜率為k的直線lyk(x),恒有=12.

詳解:(1)離心率e,所以ca,ba

所以橢圓C的方程為

因為橢圓C經(jīng)過點,所以\,

所以b2=1,所以橢圓C的方程為

2)設N(n,0),

l斜率不存在時,A(,y),B(,-y),y2=1-,

=(n)2y2=(n)2n2n,

l經(jīng)過左右頂點時,=(-2-n)(2-n)=n2-4.

n2nn2-4,n=4.

下面證明當N(4,0)時,對斜率為k的直線lyk(x),恒有=12.

A(x1,y1),B(x2,y2),

消去y,得(4k2+1)x2k2xk2-4=0,

所以x1x2x1x2,

所以=(x1-4)(x2-4)+y1y2

=(x1-4)(x2-4)+k2(x1)(x2)

=(k2+1)x1x2-(4+k2)(x1x2)+16+k2

=(k2+1) -(4+k2) +16+k2

+16=12.

所以在x軸上存在定點N(4,0),使得為定值

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