Question

（2012•江蘇二模）如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，AA₁=2，F(xiàn)是棱BC的中點，點E在棱C₁D₁上，且D₁E=λEC₁（λ為實數(shù)）．
（1）當λ=

1

3

時，求直線EF與平面D₁AC所成角的正弦值的大�。�
（2）求證：直線EF不可能與直線EA垂直．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，求出

EF

=（1，3，-2），平面D₁AC的法向量

n

=(2，1，2)，利用向量的夾角公式，即可求得直線EF與平面D₁AC所成角的正弦值；
（2）假設(shè)EF⊥EA，則

EF

•

EA

=0，由此可得方程，判斷方程無解，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：建立如圖所示的直角坐標系，

則A（2，0，0），C（0，4，0），D₁（0，0，2），E（0，

4λ

1+λ

，2），F(xiàn)（1，4，0），則

D1A

=(2，0，-2)，

D1C

=(0，4，-2)
當λ=

1

3

時，E（0，1，2），

EF

=（1，3，-2），設(shè)平面D₁AC的法向量為

n

=(x，y，z)，則
由

n • D1A =0 n • D1C =0

，可得

2x-2z=0 4y-2z=0

，所以可取

n

=(2，1，2)
∴cos＜

EF

，

n

＞=

EF • n

| EF || n |

=

2+3-4

14 ×3

=

14

42

∴直線EF與平面D₁AC所成角的正弦值為

14

42

；
（2）證明：假設(shè)EF⊥EA，則

EF

•

EA

=0
∵

EA

=（2，-

4λ

1+λ

，-2），

EF

=（1，4-

4λ

1+λ

，-2），
∴2-

4λ

1+λ

（4-

4λ

1+λ

）+4=0
∴3λ²-2λ+3=0
∵該方程無解，∴假設(shè)不成立，即直線EF不可能與直線EA垂直．

點評：本題考查線面角，考查線線位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標系，用向量方法解決立體幾何問題．