Question

（2012•江蘇二模）如圖，在C城周邊已有兩條公路l₁，l₂在點(diǎn)O處交匯，現(xiàn)規(guī)劃在公路l₁，l₂上分別選擇A，B兩處為交匯點(diǎn)（異于點(diǎn)O）直接修建一條公路通過(guò)C城，已知OC=(

2

+

6

)km，∠AOB=75°，∠AOC=45°，設(shè)OA=xkm，OB=ykm．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并指出它的定義域；
（2）試確定點(diǎn)A、B的位置，使△OAB的面積最小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△AOC的面積與△BOC的面積之和等于△AOB的面積，可得y=

2 2 x

x-2

(x＞2)．
（2）根據(jù)△OAB的面積S=

1

2

xysin75°=

6 + 2

8

xy，化簡(jiǎn)為

3 +1

2

[（x-2）+

4

x-2

+4]，再利用基本不等式求出
它的最小值．

解答：（1）因?yàn)椤鰽OC的面積與△BOC的面積之和等于△AOB的面積，
所以

1

2

x(

2

+

6

)sin45°+

1

2

y(

2

+

6

)sin30°=

1

2

xysin75°，…（4分）
即

2

2

x(

2

+

6

)+

1

2

y(

2

+

6

)=

6 + 2

4

xy，所以，y=

2 2 x

x-2

，它的定義域?yàn)椋?，+∞）．…（6分）
（2）△OAB的面積S=

1

2

xysin75°=

6 + 2

8

xy=

3 +1

2

•

x2

x-2

   …（8分）
=

3 +1

2

•

x2-4+4

x-2

=

3 +1

2

[（x+2）+

4

x-2

]=

3 +1

2

[（x-2）+

4

x-2

+4]
≥

3 +1

2

•（2

4

+4）=4（

3

+1）．    …（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)取等號(hào)，此時(shí)y=4

2

．
故當(dāng)OA=4km，OB=4

2

km時(shí)，△OAB面積的最小值為4(

3

+1)km2．  …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的解析式和定義域，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．