【題目】在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為,(t為參數(shù)),在以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中,直線l的極坐標方程為,A,B兩點的極坐標分別為.
(1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標方程;
(2)點P是圓C上任一點,求△PAB面積的最小值.
【答案】(1),;(2)4.
【解析】
(1)由圓C的參數(shù)方程消去t得到圓C的普通方程,由直線l的極坐標方程,利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡,根據x=ρcosθ,y=ρsinθ轉化為直角坐標方程即可;
(2)將A與B的極坐標化為直角坐標,并求出|AB|的長,根據P在圓C上,設出P坐標,利用點到直線的距離公式表示出P到直線l的距離,利用余弦函數(shù)的值域確定出最小值,即可確定出三角形PAB面積的最小值.
解:(1)由,化簡得:,
消去參數(shù)t,得(x+5)2+(y﹣3)2=2,
∴圓C的普通方程為(x+5)2+(y﹣3)2=2.
由ρcos(θ),化簡得ρcosθρsinθ,
即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2,即x﹣y+2=0,
則直線l的直角坐標方程為x﹣y+2=0;
(2)將A(2,),B(2,π)化為直角坐標為A(0,2),B(﹣2,0),
∴|AB|2,
設P點的坐標為(﹣5cost,3sint),
∴P點到直線l的距離為d,
∴dmin2,
則△PAB面積的最小值是S224.
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【題目】上饒某中學一研究性學習小組早晨在校門口詢問調查同學的體重,對來校同學依次每5人抽取一人詢問體重,共抽取40位同學,將他們的體重(分成六段:,,,,,,統(tǒng)計后得到如圖的頻率分布直方圖.
(1)此研究性學習小組在采樣中,用到的是什么抽樣方法?并求這40位同學體重的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值.
(2)從體重在的同學中任意抽取3位,求體重在,內都有同學的概率.
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【題目】橢圓的中心在原點,焦點在坐標軸上,焦距為2.一雙曲線和該橢圓有公共焦點,且雙曲線的實半軸長比橢圓的長半軸長小4,雙曲線離心率與橢圓離心率之比為7∶3,求橢圓和雙曲線的方程.
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【題目】如圖是一景區(qū)的截面圖,是可以行走的斜坡,已知百米,是沒有人行路(不能攀登)的斜坡,是斜坡上的一段陡峭的山崖.假設你(看做一點)在斜坡上,身上只攜帶著量角器(可以測量以你為頂點的角).
(1)請你設計一個通過測量角可以計算出斜坡的長的方案,用字母表示所測量的角,計算出的長,并化簡;
(2)設百米,百米,,,求山崖的長.(精確到米)
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【題目】《九章算術》卷第五《商功》中有記載:“芻甍者,下有袤有廣,而上有袤無廣.芻,草也.甍,屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形,頂部只有長沒有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂.”現(xiàn)有一個芻甍,如圖,四邊形為正方形,四邊形、為兩個全等的等腰梯形,,,若這個芻甍的體積為,則的長為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】“活水圍網”養(yǎng)魚技術具有養(yǎng)殖密度高、經濟效益好的特點.研究表明:“活水圍網”養(yǎng)魚時,某種魚在一定的條件下,每尾魚的平均生長速度(單位:千克/年)是養(yǎng)殖密度(單位:尾/立方米)的函數(shù).當時,的值為2千克/年;當時,是的一次函數(shù);當時,因缺氧等原因,的值為0千克/年.
(1)當時,求關于的函數(shù)表達式.
(2)當養(yǎng)殖密度為多少時,魚的年生長量(單位:千克/立方米)可以達到最大?并求出最大值.
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【題目】已知函數(shù)的圖像關于直線對稱,且.
(1)求的表達式;
(2)若將圖像上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>,再將所得圖像向右平移個單位,得到的圖像,且關于的方程在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
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