Question

（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，（）．
（1）證明：；
（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由；
（3）證明：（）．

Answer 1

（1）設(shè)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得唯一極小值。
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（3）證明1：先證對(duì)任意正整數(shù)，，再證對(duì)任意正整數(shù)，
．
即要證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）成立，以下可以數(shù)學(xué)歸納法證明。

                                                        
試題分析：（1）設(shè)，所以
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得唯一極小值，…2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004203595552.png" style="vertical-align:middle;" />，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)均有 ．即，
所以
（2）當(dāng)時(shí)，．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)時(shí)，由（1）知。
②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，對(duì)任意均有，
令，，
因?yàn)閷?duì)任意的正實(shí)數(shù)，，
由歸納假設(shè)知，．
即在上為增函數(shù)，亦即，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004204095633.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．從而對(duì)任意，有．
即對(duì)任意，有．這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，也有．由①、②知，當(dāng)時(shí)，都有．
（3）證明1：先證對(duì)任意正整數(shù)，．
由（2）知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)，都有．令，得．所以．
再證對(duì)任意正整數(shù)，
．
要證明上式，只需證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立．
即要證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）成立
以下分別用數(shù)學(xué)歸納法和基本不等式法證明不等式（*）：
方法1（數(shù)學(xué)歸納法）：
①當(dāng)時(shí)，成立，所以不等式（*）成立．
②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，不等式（*）成立，即．
則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240042047503147.png" style="vertical-align:middle;" /> 
所以．
這說(shuō)明當(dāng)時(shí)，不等式（*）也成立．由①、②知，對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）都成立．
綜上可知，對(duì)任意正整數(shù)，成立 。
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力．題目較難，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，我們?cè)谧鲱}時(shí)，能得滿分就得滿分，不能得滿分的盡量多得步驟分。