Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在實數(shù)，使得至少有一個，使成立，若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；(2)答案見解析.

【解析】試題分析： 求得函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，對a討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負，即可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）先考慮“至少有一個，使成立”的否定“， 恒成立”.即可轉(zhuǎn)化為a+（a+1）xlnx≥0恒成立，令φ（x）=a+（a+1）xlnx，則只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可．

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域為，

1）當(dāng)時，由得， 或，由得，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

2）當(dāng)時， ， 的單調(diào)增區(qū)間為

（2）先考慮“至少有一個，使成立”的否定“， 恒成立”.

即可轉(zhuǎn)化為恒成立.

令，則只需在恒成立即可，

，

當(dāng)時，在時， ，在時，

的最小值為，由得，

故當(dāng)時， 恒成立，

當(dāng)時， ， 在不能恒成立，

當(dāng)時，取，有， 在不能恒成立，

綜上所述，即時，至少有一個，使成立.