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兩非零向量
a
，
b
滿足：2
a
-
b
與
b
垂直，集合A={x|x2+（|
a
|+|
b
|）x+|
a
||
b
|=0}是單元素集合．
（1）求
a
與
b
的夾角
（2）若關于t的不等式|
a
-t
b
|＜|
a
-m
b
|的解集為空集，求實數m的值．
分析：（1）由題意可得
a
•
b
=
b
2
2
，|
a
|=|
b
|，代入夾角公式可得答案；
（2）由（1）可把不等式轉化為：t2-t+m-m2≥0對一切t∈R恒成立，可得△=1-4（m-m2）≤0，解之即可．
解答：解：（1）由2
a
-
b
與
b
垂直得(
a
-
b
)•
b
=0，即
a
•
b
=
b
2
2
，
由A={x|x2+（|
a
|+|
b
|）x+|
a
||
b
|=0}是單元素集合得：
△=(|
a
|+|
b
|)2-4|
a
||
b
|=0，即|
a
|=|
b
|，
設
a
與
b
的夾角為θ，由夾角公式可得cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
1
2
b
2
|
b
|2
=
1
2
，
故θ=
π
3
，故
a
與
b
的夾角為
π
3

（2）關于t的不等式|
a
-t
b
|＜|
a
-m
b
|的解集為空集，則
不等式|
a
-t
b
|≥|
a
-m
b
|的解集為R，
從而
a
2-2
a
•
b
×t+t2
b
2≥
a
2-2
a
•
b
×m+m2
b
2對一切t∈R恒成立，
將
a
2=
b
2，2
a
•
b
=
b
2代入上式得：t2-t+m-m2≥0對一切t∈R恒成立，
∴△=1-4（m-m2）≤0，即（2m-1）2≤0，解得m=
1
2
點評：本題為向量的綜合應用，涉及夾角公式和不等式的恒成立問題，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•嘉興二模）已知兩非零向量
a
，
b
滿足|
a
|=2，|
a
-
b
|=1，則向量
a
，
b
夾角的最大值是
π
6
π
6
．

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科目：高中數學 來源：學習周報　數學　北師大課標高一版(必修4)　2009－2010學年　第47期　總203期 北師大課標版 題型：022

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科目：高中數學 來源： 題型：

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       (2)|a-b|=|a|+|b|；

       (3)|a-b|＜|a+b|；

       (4)|a+b|＜|a-b|.

      

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

兩非零向量
a
，
b
滿足：2
a
-
b
與
b
垂直，集合A={x|x2+（|
a
|+|
b
|）x+|
a
||
b
|=0}是單元素集合．
（1）求
a
與
b
的夾角
（2）若關于t的不等式|
a
-t
b
|＜|
a
-m
b
|的解集為空集，求實數m的值．

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