【題目】已知函數(shù),.
(1)求在點(diǎn)P(1,)處的切線(xiàn)方程;
(2)若關(guān)于x的不等式有且僅有三個(gè)整數(shù)解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(3)若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù),滿(mǎn)足,求證:.
【答案】(1);(2);(3)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)求出P(1,0),x>0,,f′(1)=1,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線(xiàn)方程.
(2)求出,x>0,則f′(x)=0,得x=e,列表討論能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍.
(3)h(x)=x2﹣2x+4lnx,從而(x1+x2)2﹣2(x1+x2)﹣4lnx1x2,令t=x1x2,=t2+2t﹣4lnt,(t>0),…(11分)則=2t+2﹣=,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明x1+x2≥3.
(1),,所以點(diǎn)坐標(biāo)為;
又,,則切線(xiàn)方程為,
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.
(2)
正 | 0 | 負(fù) | |
單調(diào)增 | 極大值 | 單調(diào)減 |
由, 得;
時(shí),或,滿(mǎn)足條件的整數(shù)解有無(wú)數(shù)個(gè),舍;
時(shí),,得且,滿(mǎn)足條件的整數(shù)解有無(wú)數(shù)個(gè),舍;
時(shí),或,當(dāng)時(shí),無(wú)整數(shù)解;
當(dāng)時(shí),不等式有且僅有三個(gè)整數(shù)解,又,,
因?yàn)?/span>在遞增,在遞減;所以, 即,即;
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
(3),
因?yàn)?/span>,
所以,
即,
令,,
則,
當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)在時(shí),取得最小值,最小值為3.
因?yàn)榇嬖趦蓚(gè)正實(shí)數(shù),滿(mǎn)足,所以,
即,所以或.
因?yàn)?/span>為正實(shí)數(shù),所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (其中)的周期為,且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為.
(1)求的解析式;
(2)當(dāng)時(shí),求的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè)函數(shù),若在上存在極值,求的取值范圍,并判斷極值的正負(fù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,若存在常數(shù),使得對(duì)任意的成立,則稱(chēng)函數(shù)是“類(lèi)周期函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù),是否是“類(lèi)周期函數(shù)”,并證明你的結(jié)論;
(2)求證:若函數(shù)是“類(lèi)周期函數(shù)”,且是偶函數(shù),則是周期函數(shù);
(3)求證:當(dāng)時(shí),函數(shù)一定是“類(lèi)周期函數(shù)”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=a-bcos(b>0)的最大值為,最小值為-.
(1)求a,b的值;
(2)求函數(shù)g(x)=-4asin的最小值并求出對(duì)應(yīng)x的集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是
A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,,分別為,的中點(diǎn),,如圖1.以為折痕將折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,如圖2.
如圖1 如圖2
(1)證明:平面平面;
(2)若平面平面,求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)若恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球留給人類(lèi)保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞,若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑,兩點(diǎn)間的距離,現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn),,測(cè)得,,,,則,兩點(diǎn)的距離為___.
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