Question

【題目】選修4﹣5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．
（1）證明：﹣3≤f（x）≤3；
（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|= ．

當(dāng)2＜x＜5時，﹣3＜2x﹣7＜3．

所以﹣3≤f（x）≤3

（2）解：由（1）可知，

當(dāng)x≤2時，f（x）≥x2﹣8x+15的解集為空集；

當(dāng)2＜x＜5時，f（x）≥x2﹣8x+15的解集為{x|5﹣ ≤x＜5}；

當(dāng)x≥5時，f（x）≥x2﹣8x+15的解集為{x|5≤x≤6}．

綜上，不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集為{x|5﹣ ≤x≤6}

【解析】（1）通過對x的范圍分類討論將函數(shù)f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|中的絕對值符號去掉，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，即可解決；（2）結(jié)合（1）對x分x≤2，2＜x＜5與x≥5三種情況討論解決即可．
【考點精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號．