已知橢圓的左、右焦點分別為、，橢圓上的點滿足，且的面積．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線，使與橢圓交于不同的兩點、，且線段恰被直線平分？若存在，求出的斜率取值范圍；若不存在，請說明理由．

（I）橢圓的方程為.（Ⅱ）存在滿足題設(shè)條件的直線，且的斜率取值范圍是
.

解析試題分析：（Ⅰ）由題意知：.，且，由此可求得，，二者相加即得，從而得橢圓的方程. （Ⅱ）假設(shè)這樣的直線存在，且直線的方程為，設(shè)與橢圓的兩交點為、，若線段恰被直線平分，則.這顯然用韋達定理.由得．
由得．再用韋達定理得，代入得，再將此式代入得一只含的不等式，解此不等式即得的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）由題意知：，                       （1分）
橢圓上的點滿足，且，
．
，．
．                           （2分）
又．                          （3分）
橢圓的方程為．                           （4分）
（Ⅱ）假設(shè)這樣的直線存在．與直線相交，直線的斜率存在.
設(shè)的方程為，                               （5分）
由得．（*）     （6分）
直線與橢圓有兩個交點，
（*）的判別式，即．①  （7分）
設(shè)、，則．　         （8分）
被直線平分，可知，
，． ②　　　         （9分）
把②代入①，得，即．     （10分）

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓C：＝1(a>b>0)上兩點，已知m＝，n＝，若m·n＝0且橢圓的離心率e＝，短軸長為2，O為坐標原點．
(1)求橢圓的方程；
(2)試問△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

拋物線在點，處的切線垂直相交于點，直線與橢圓相交于，兩點．

（1）求拋物線的焦點與橢圓的左焦點的距離；
（2）設(shè)點到直線的距離為，試問：是否存在直線，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓Ｃ：的左、右焦點和短軸的一個端點構(gòu)成邊長為４的正三角形．
（1）求橢圓Ｃ的方程；
（2）過右焦點的直線與橢圓Ｃ相交于Ａ、Ｂ兩點，若，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

求以橢圓的焦點為焦點，且過點的雙曲線的標準方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于點，.
（Ⅰ）若（點在第一象限），求直線的方程；
（Ⅱ）求證：為定值（點為坐標原點）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓E的中心是原點O，其右焦點為F(2，0)，過x軸上一點A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點,且的最大值為.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè),過點P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點M,試問M,F,Q是否共線，若共線請證明；反之說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線，設(shè)點，，為拋物線上的動點（異于頂點），連結(jié)并延長交拋物線于點，連結(jié)、并分別延長交拋物線于點、，連結(jié)，設(shè)、的斜率存在且分別為、.

（1）若，，，求；
（2）是否存在與無關(guān)的常數(shù)，是的恒成立，若存在，請將用、表示出來；若不存在請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線與直線相交于A、B 兩點．
（1）求證：；
（2）當的面積等于時,求的值．

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