Question

設為數(shù)列的前項和，對任意的N，都有為常數(shù)，且．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設數(shù)列的公比與函數(shù)關(guān)系為，數(shù)列滿足，點落在 上，，N，求數(shù)列的通項公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列的前項和，使恒成立時，求的最小值．[

Answer 1

（1）證明過程詳見試題分析； （2）數(shù)列的通項公式為；
（3），的最小值為-6．

試題分析：（1）按照等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）由（1）知與函數(shù)關(guān)系為，∴是首項為，公差為1的等差數(shù)列，通項公式可求；
（3）先用錯位相減法求出數(shù)列的前項和，即，化簡得恒成立，由單調(diào)性知當時，右邊最大，所以，的最小值為-6．
（1）證明：當時，，解得．     1分
當時，．                   2分
即．
∵為常數(shù)，且，∴．               3分
∴數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列．               4分
（2）解：由（1）得，，．            5分
∵
∴，即．
∴是首項為，公差為1的等差數(shù)列．                  7分
∴，即（）．            8分
（3）解：由（2）知，則．          9分
所以，
即，       ①
，        ②
②－①得，  
故．
，化簡得恒成立，由單調(diào)性知當時，右邊最大，所以，的最小值為-6．                            14分