Question

求函數(shù)f（x）=

2 x-2

|2x-4|+4

的值域．

Answer 1

分析：由分母非0和二次根號的被開方數(shù)不小于0，求得函數(shù)的定義域為[2，+∞），將函數(shù)化簡為f（x）=2

x-2

-x，再利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解出u=-t²+t-2的最大值為-

7

4

，即可得到原函數(shù)的值域為（0，2-

7

4

]．

解答：解：函數(shù)的定義域為：

x-2≥0 |2 x-4|+4≠0

，解之得x≥2
∴函數(shù)可化簡為f（x）=

2 x-2

2x-4+4

=

2 x-2

2x

=2

x-2

-x
令t=

x-2

，則t≥0，則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（t）=2 -t2+t-2
∵u=-t²+t-2（t≥0），當(dāng)且僅當(dāng)t=

1

2

時u的最大值為-

7

4

∴u≤-

7

4

，
∵2＞1得y=2^u是關(guān)于u的增函數(shù)，∴2^u∈（0，2-

7

4

]，
因此，原函數(shù)的值域為（0，2-

7

4

]

點評：本題求一個函數(shù)的值域，著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了換元法和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則等知識，屬于中檔題．