Question

利用單調(diào)性的定義證明：函數(shù)f（x）=

2

x-1

在（1，+∞）上是減函數(shù)，并求函數(shù)f（x）=

2

x-1

，x∈[2，6]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，并利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值．

解答：解：在（1，+∞）上任意設(shè)兩個實數(shù)x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，則1＜x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-1)-2(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）=

2

x-1

在（1，+∞）上是減函數(shù)．
即函數(shù)f（x）=

2

x-1

在[2，6]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=2時，函數(shù)f（x）取得最大值f（2）=2，
當(dāng)x=6時，函數(shù)f（x）取得最小值f（6）=

2

5

．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明以及分式函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)的應(yīng)用，利用單調(diào)性的定義是解決此類問題的基本方法．