【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=2,點(diǎn)P在棱DF上.
(1)若P是DF的中點(diǎn),求異面直線BE與CP所成角的余弦值;
(2)若二面角D﹣AP﹣C的正弦值為,求PF的長(zhǎng)度.
【答案】(1).(2).
【解析】
(1)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AF為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),計(jì)算夾角得到答案.
(2)設(shè),0≤λ≤1,計(jì)算P(0,2λ,2﹣2λ),計(jì)算平面APC的法向量(1,﹣1,),平面ADF的法向量(1,0,0),根據(jù)夾角公式計(jì)算得到答案.
(1)∵BAF=90°,∴AF⊥AB,
又∵平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB,
∴AF⊥平面ABCD,又四邊形ABCD為矩形,
∴以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AF為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵AD=2,AB=AF=2EF=2,P是DF的中點(diǎn),
∴B(2,0,0),E(1,0,2),C(2,2,0),P(0,1,1),
(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),
設(shè)異面直線BE與CP所成角的平面角為θ,
則cosθ,
∴異面直線BE與CP所成角的余弦值為.
(2)A(0,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2),D(0,2,0),
設(shè)P(a,b,c),,0≤λ≤1,即(a,b,c﹣2)=λ(0,2,﹣2),
解得a=0,b=2λ,c=2﹣2λ,∴P(0,2λ,2﹣2λ),
(0,2λ,2﹣2λ),(2,2,0),
設(shè)平面APC的法向量(x,y,z),
則,取x=1,得(1,﹣1,),
平面ADP的法向量(1,0,0),
∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值為,
∴|cos|,
解得,∴P(0,,),
∴PF的長(zhǎng)度|PF|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正三棱錐中,是的中點(diǎn),且,底面邊長(zhǎng),則正三棱錐的外接球的表面積為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活,網(wǎng)購(gòu)作為一種新的消費(fèi)方式,因其具有快捷、商品種類齊全、性價(jià)比高等優(yōu)勢(shì)而深受廣大消費(fèi)者認(rèn)可.某網(wǎng)購(gòu)公司統(tǒng)計(jì)了近五年在本公司網(wǎng)購(gòu)的人數(shù),得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年,“x=2”表示2016年,依次類推;y表示人數(shù)):
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(萬(wàn)人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
(1)試根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)到哪一年該公司的網(wǎng)購(gòu)人數(shù)能超過(guò)300萬(wàn)人;
(2)該公司為了吸引網(wǎng)購(gòu)者,特別推出“玩網(wǎng)絡(luò)游戲,送免費(fèi)購(gòu)物券”活動(dòng),網(wǎng)購(gòu)者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果,操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn). 若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”,則網(wǎng)購(gòu)者可獲得免費(fèi)購(gòu)物券500元;若遙控車最終停在“失敗大本營(yíng)”,則網(wǎng)購(gòu)者可獲得免費(fèi)購(gòu)物券200元. 已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是,方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格,網(wǎng)購(gòu)者每拋擲一次骰子,遙控車向前移動(dòng)一次.若擲出奇數(shù),遙控車向前移動(dòng)一格(從到)若擲出偶數(shù)遙控車向前移動(dòng)兩格(從到),直到遙控車移到第19格勝利大本營(yíng))或第20格(失敗大本營(yíng))時(shí),游戲結(jié)束。設(shè)遙控車移到第格的概率為,試證明是等比數(shù)列,并求網(wǎng)購(gòu)者參與游戲一次獲得免費(fèi)購(gòu)物券金額的期望值.
附:在線性回歸方程中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二面角α﹣l﹣β為60°,在其內(nèi)部取點(diǎn)A,在半平面α,β內(nèi)分別取點(diǎn)B,C.若點(diǎn)A到棱l的距離為1,則△ABC的周長(zhǎng)的最小值為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為,三人各射擊一次,擊中目標(biāo)的次數(shù)記為.
(1)求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)在概率(=0,1,2,3)中, 若的值最大, 求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有一直徑為8米的半圓形空地,現(xiàn)計(jì)劃種植甲、乙兩種水果,已知單位面積種植甲水果的經(jīng)濟(jì)價(jià)值是種植乙水果經(jīng)濟(jì)價(jià)值的5倍,但種植甲水果需要有輔助光照.半圓周上的處恰有一可旋轉(zhuǎn)光源滿足甲水果生長(zhǎng)的需要,該光源照射范圍是,點(diǎn)在直徑上,且.
(1)若米,求的長(zhǎng);
(2)設(shè), 求該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟(jì)價(jià)值時(shí)種植甲種水果的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線與
橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為,點(diǎn)
是的焦點(diǎn),且.
(1)求與的方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),在第一象限內(nèi),橢圓上是否存在點(diǎn),使過(guò)作的垂線交拋物線于,直線交軸于,且?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的面積;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)引進(jìn)現(xiàn)代化管理體制,生產(chǎn)效益明顯提高.2018年全年總收入與2017年全年總收入相比增長(zhǎng)了一倍,實(shí)現(xiàn)翻番.同時(shí)該企業(yè)的各項(xiàng)運(yùn)營(yíng)成本也隨著收入的變化發(fā)生了相應(yīng)變化.下圖給出了該企業(yè)這兩年不同運(yùn)營(yíng)成本占全年總收入的比例,下列說(shuō)法正確的是( )
A.該企業(yè)2018年原材料費(fèi)用是2017年工資金額與研發(fā)費(fèi)用的和
B.該企業(yè)2018年研發(fā)費(fèi)用是2017年工資金額、原材料費(fèi)用、其它費(fèi)用三項(xiàng)的和
C.該企業(yè)2018年其它費(fèi)用是2017年工資金額的
D.該企業(yè)2018年設(shè)備費(fèi)用是2017年原材料的費(fèi)用的兩倍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)若是的一個(gè)極值點(diǎn),且,證明:
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