Question

已知函數(shù)f(x)=a-

1

|2x-b|

是偶函數(shù)，a為實(shí)常數(shù)．
（1）求b的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，是否存在m，n（n＞m＞o）使得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否則，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，由f（x）是偶函數(shù)可知定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱，可求b
（2）由（1）可知f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，0）上單調(diào)遞減，結(jié)合已知n＞m＞0，可知y=f（x）在區(qū)間[m，n]上是增函數(shù)，從而有

1- 1 2m =m 1- 1 2n =n

，求解即可判斷

解答：解：（1）∵f(x)=a-

1

|2x-b|

函數(shù)的定義域?yàn)閧{x|x≠

1

2

b}
∵f（x）是偶函數(shù)
故定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱，即b=0
（（2）由（1）可知，f（x）=a-

1

2|x|

定義域D=（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，0）上單調(diào)遞減
∵n＞m＞0，
∴y=f（x）在區(qū)間[m，n]上是增函數(shù)．
∴有

1- 1 2m =m 1- 1 2n =n

即方程1-

1

2x

=x，整理可得2x²-2x+1=0
∵△=4-8＜0
∴不存在正實(shí)數(shù)m，n，滿足題意

點(diǎn)評：本題主要考查了偶函數(shù)的定義的應(yīng)用，其中定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是求解b的關(guān)鍵，而函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用是求解（2）的關(guān)鍵