Question

已知函數(shù)f(x)=a-

1

2x+1

．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)x₁＜x₂，欲證明不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)，只須證明：f（x₁）-f（x₂）＜0，即可；
（2）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，利用定義得出f（-x）=-f（x），從而求得a值即可；
（3）由（2）知f(x)=

1

2

-

1

2x+1

（4），利用指數(shù)函數(shù)2^x的性質(zhì)結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求得f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）的定義域為R，設(shè)x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)．
（2）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），即a-

1

2-x+1

=-a+

1

2x+1

，
解得：a=

1

2

．∴f(x)=

1

2

-

1

2x+1

．
（3）由（2）知f(x)=

1

2

-

1

2x+1

（4），∵2^x+1＞1（5），∴0＜

1

2x+1

＜1（6），∴-1＜-

1

2x+1

＜0，∴-

1

2

＜f(x)＜

1

2

所以f（x）的值域為(-

1

2

，

1

2

)．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．