Question

【題目】若數(shù)列,滿足,則稱為數(shù)列的“偏差數(shù)列”.

（1）若為常數(shù)列,且為的“偏差數(shù)列”,試判斷是否一定為等差數(shù)列,并說(shuō)明理由;

（2）若無(wú)窮數(shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列,且,為數(shù)列的“偏差數(shù)列”,求的值;

（3）設(shè),為數(shù)列的“偏差數(shù)列”,,且若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）或（3）

【解析】

（1）設(shè),根據(jù),可得,滿足為數(shù)列的“偏差數(shù)列,但此時(shí)不是等差數(shù)列,故可得出不一定是等差數(shù)列;

（2）設(shè)數(shù)列的公比為,解方程可得首項(xiàng)和公比,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式,計(jì)算可得所求值;

（3）由累加法可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.討論為奇數(shù)或偶數(shù),求得極限,由不等式恒成立思想可得的最小值.

（1）設(shè) ,根據(jù)

即:得:

滿足為數(shù)列的“偏差數(shù)列,

但此時(shí)不是等差數(shù)列,故可得出不一定是等差數(shù)列.

（2）設(shè)數(shù)列的公比為,則由題意,,均為正整數(shù)

因?yàn)?/span>，所以

解得或

故或

①當(dāng)時(shí),,

②當(dāng)時(shí),,

綜上所述:的值為:或

（3）且

得:

故有:

累加得:

又所以

當(dāng)為奇數(shù)時(shí),單調(diào)遞增,,，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí),單調(diào)遞減,，，

從而,所以

所以的最小值為.