Question

已知水渠在過水斷面面積為定值的情況下，過水濕周越小，其流量越大．現(xiàn)有以下兩種設計，其縱斷面如圖所示，圖甲的過水斷面為等腰△ABC，AB=BC，過水濕周l₁=AB+BC；圖乙的過水斷面為等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠BAD=60°，過水濕周l₂=AB+BC+CD．若△ABC和等腰梯形ABCD的面積都是S，
（1）分別求l₁和l₂的最小值；（2）為使流量最大，給出最佳設計方案．

Answer 1

解：（1）在圖甲中，設∠ABC=θ，AB=BC=a，
則S=，l₁=2a=2≥，當且僅當θ=90°時，l₁=，
故l₁的最小值為．
在圖乙中，設AB=CD=m，BC=n，又由∠BAD=60°，可得AD=m+n，S=（m+n+n）×m，
故n=-．
∴-=+≥，當且僅當=，
即時，l₂=．
故l₂的最小值為2．
（2）由于2＞，故＞，故l₂的最小值小于l₁的最小值．
所以在方案乙中當l₂最小，即時為最佳設計方案．
分析：（1）圖甲的過水斷面為等腰△ABC，AB=BC，設角ABC，表示出l1和s，圖乙的過水斷面為等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，
∠BAD=60°，過水濕周l₂=AB+BC+CD，表示出l₂和s，根據(jù)l_1、l₂的表達式求最值；
（2）根據(jù)水渠在過水斷面面積為定值的情況下，過水濕周越小，其流量越大，由（1）比較l_1、l₂的最小值的大小，小的其流量大．
點評：考查根據(jù)實際問題抽象函數(shù)模型的能力，并能根據(jù)模型的解決，指導實際生活中的決策問題，在解模的過程中應用了基本不等式求最值，和借助于三角函數(shù)的有界性放縮不等式，屬中檔題．