已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx,f(x+1)為偶函數(shù),函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x相切.
(I)求f(x)的解析式;
(II)已知k的取值范圍為[,+∞),則是否存在區(qū)間[m,n](m<n),使得f(x)在區(qū)間[m,n]上的值域恰好為[km,kn]?若存在,請(qǐng)求出區(qū)間[m,n];若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)∵f(x+1)為偶函數(shù),∴f(-x+1)=f(x+1),
即a(-x+1)2+b(-x+1)=a(x+1)2+b(x+1)恒成立,
即(2a+b)x=0恒成立,∴2a+b=0,∴b=-2a,∴f(x)=ax2-2ax,
∵函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x相切,
∴二次方程ax2-(2a+1)x=0有兩相等實(shí)數(shù)根,∴Δ=(2a+1)2-4a×0=0,
∴a=,f(x)=- x2+x.         ......5分
(2)∵f(x)=- (x-1)2+,
∴[km,kn]⊆(-∞,],∴kn≤,又k≥,∴n≤,
又[m,n]⊆ (-∞,1],f(x)在[m,n]上是單調(diào)增函數(shù),即-
即m,n為方程-x2+x=kx的兩根,解得x1=0,x2=2-2k.∵m<n且k≥.
故當(dāng)≤k<1時(shí),[m,n]="[0,2-2k];" 當(dāng)k>1時(shí),[m,n]=[2-2k,0]; 當(dāng)k=1時(shí),[m,n]不存在.
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A.B.
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