Question

【題目】

已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若斜率為k的直線交橢圓于A，B兩點，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4．

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據題意列出關于 、 、的方程組，結合性質 ， ，求出 、 、，即可得結果；（Ⅱ）直線l的方程為y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線與曲線聯(lián)立，以△OAB的面積S＝|m||x1－x2|根據韋達定理，弦長公式將三角形面積用 ， 表示，換元求最值即可得結果.

試題解析：（Ⅰ）由已知得， ， 解得， ，

橢圓的方程是.

（Ⅱ）設直線l的方程為y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).

將y＝kx＋m代入橢圓的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，

由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①

則有x1＋x2＝－，x1x2＝.

所以|x1－x2|＝.

因為直線y＝kx＋m與y軸交點的坐標為(0，m)，

所以△OAB的面積S＝|m||x1－x2|

＝＝＝

設＝t，由①可知0＜t＜4，

因此S＝2＝2，故S≤4，

當且僅當t＝2時取得最大值4.

所以△OAB面積的最大值為4.