Question

（08年豐臺(tái)區(qū)統(tǒng)一練習(xí)一理）（14分）

設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）求f (x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，不等式f (x)<m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（Ⅲ）若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0, 2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?1, +∞）.…………………………………………… 1分

          ∵ , 

由，得x>0；由，得.………………… 3分

∴ f (x)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是（-1, 0）.………………… 4分

（Ⅱ）∵ 由，得x=0,x=-2（舍去）

由（Ⅰ）知f (x)在上遞減，在上遞增. 

高三數(shù)學(xué)（理科）答案第3頁（共6頁）

又 ， , 且.

∴ 當(dāng)時(shí)，f (x)的最大值為.

故當(dāng)時(shí)，不等式f (x)<m恒成立.……………………………… 9分

（Ⅲ）方程,  .

      記,

      ∵ ,  

由,得x>1或x<-1（舍去）.   由, 得.

             ∴ g(x)在[0,1]上遞減, 在[1,2]上遞增.

             為使方程在區(qū)間[0, 2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，

            只須g(x)=0在[0,1]和上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根,于是有

            ∵ , 

∴ 實(shí)數(shù)a的取值范圍是 . ……………………… 14分