Question

設不等式組

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面區(qū)域為D_n，記D_n內的格點（格點即橫坐標和縱坐標皆為整數的點）的個數為f（n）（n∈N*）．
（1）求f（1）、f（2）的值及f（n）的表達式；
（2）設b_n=2ⁿf（n），S_n為{b_n}的前n項和，求S_n；
（3）記Tn=

f(n)f(n+1)

2n

，若對于一切正整數n，總有T_n≤m成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）據可行域，求出當x=1，x=2時，可行域中的整數點，分別求出f（1），f（2），f（n）．
（2）由于數列的通項是一個等差數列與一個等比數列的積構成的新數列，利用錯位相減的方法求出數列的和．
（3）求出

Tn+1

Tn

，據它的符號判斷出T_n的單調性，求出T_n的最大值，令m大于等于最大值即可．

解答：解：畫出

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

的可行域

（1）f（1）=2+1=3
f（2）=3+2+1=6
當x=1時，y=2n，可取格點2n個；當x=2時，y=n，可取格點n個
∴f（n）=3n
（2）由題意知：b_n=3n•2ⁿ
S_n=3•2¹+6•2²+9•2³+…+3（n-1）•2^n-1+3n•2ⁿ
∴2S_n=3•2²+6•2³+…+3（n-1）•2ⁿ+3n•2ⁿ⁺¹
∴-S_n=3•2¹+3•2²+3•2³+…3•2ⁿ-3n•2ⁿ⁺¹
=3（2+2²+…+2ⁿ）-3n•2ⁿ⁺¹
=3•

2-2n+1

1-2

-3n2n+1
=3（2ⁿ⁺¹-2）-3nⁿ⁺¹
∴-S_n=（3-3n）2ⁿ⁺¹-6
S_n=6+（3n-3）2ⁿ⁺¹
（3）Tn=

f(n)f(n+1)

2n

=

3n(3n+3)

2n

∵ Tn+1 Tn = (3n+3)(3n+6) 2n+1 3n(3n+3) 2n = n+2 2n 當n=1時， n+2 2n ＞1 當n=2時， n+2 2n =1 當n≥3時， n+2 2n ＜1

∴T₁＜T₂=T₃＞T₄＞…＞T_n
故T_n的最大值是T₂=T₃=

27

2

∴m≥

27

2

．

點評：求數列的前n項和，先求出數列的通項，據數列通項的特點，選擇合適的求和方法；解決數列的單調性問題只能通過判斷相鄰項的差的符號或相鄰項的比與1的大�。�