【題目】已知函數(shù)f(x)= (a>0)
(1)若a=1,證明:y=f(x)在R上單調(diào)遞減;
(2)當(dāng)a>1時(shí),討論f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】
(1)當(dāng)a=1時(shí),且x≥1時(shí),f(x)=lnx﹣x+1,
∴0恒成立,
∴f(x)在[1,+∞)單調(diào)遞減,
當(dāng)x<1時(shí),f(x)=ex﹣1﹣x,
∴f′(x)=ex﹣1﹣1<0恒成立,
∴f(x)在(﹣∞,1)單調(diào)遞減,
綜上所述y=f(x)在R上單調(diào)遞減
(2)解:當(dāng)x≥a時(shí),f(x)=lnx﹣ax+1=0,分別畫(huà)出y=lnx,與y=ax﹣1的圖象,如圖所示:
∵y=ax﹣1過(guò)定點(diǎn)(0,﹣1),
設(shè)直線y=ax﹣1與y=lnx的切點(diǎn)為(m,n),
∴k=f′(m)= = ,f(m)=lnm=n
∴n=0,m=1,
由圖象可知,x≥a時(shí),且當(dāng)a>1時(shí),圖象無(wú)交點(diǎn),故f(x)無(wú)零點(diǎn),
當(dāng)x<a時(shí),f(x)=ex﹣1+(a﹣2)x,
分別畫(huà)出y=ex﹣1,與y=(2﹣a)x的圖象,如圖所示:
∵y=(2﹣a)x過(guò)定點(diǎn)(0,0),
由圖象可知,當(dāng)a>2時(shí),圖象有一個(gè)交點(diǎn),故f(x)有一個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)1<a≤2時(shí),圖象無(wú)交點(diǎn),故f(x)無(wú)零點(diǎn),
故x<a時(shí),函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn),
綜上所述,當(dāng)a>2時(shí),故f(x)有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)1<a≤2時(shí),故f(x)無(wú)零點(diǎn).
【解析】(1)分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可證明;(2)利用數(shù)形結(jié)合法,分段討論,即可求出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系內(nèi),已知A(3,3)是⊙C上一點(diǎn),折疊該圓兩次使點(diǎn)A分別與圓上不相同的兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A)重合,兩次的折痕方程分別為x﹣y+1=0和x+y﹣7=0,若⊙C上存在點(diǎn)P,使∠MPN=90°,其中M,N的坐標(biāo)分別為(﹣m,0)(m,0),則m的最大值為( )
A.4
B.5
C.6
D.7
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某氣象站觀測(cè)點(diǎn)記錄的連續(xù)4天里, 指數(shù)與當(dāng)天的空氣水平可見(jiàn)度(單位)的情況如下表1:
哈爾濱市某月指數(shù)頻數(shù)分布如下表2:
(1)設(shè),根據(jù)表1的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的回歸方程;
(參考公式: ,其中, )
(2)小張開(kāi)了一家洗車店,經(jīng)統(tǒng)計(jì),當(dāng)不高于200時(shí),洗車店平均每天虧損約2000元;當(dāng)在時(shí),洗車店平均每天收入約4000元;當(dāng)大于400時(shí),洗車店平均每天收入約7000元;根據(jù)表2估計(jì)校長(zhǎng)的洗車店該月份平均每天的收入.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=kx+b的圖象過(guò)點(diǎn)(2,1),且b2﹣6b+9≤0
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若a>0,解關(guān)于x的不等式x2﹣(a2+a+1)x+a3+3<f(x).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c且滿足csinA=acosC
(1)求角C的大。
(2)求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐 A﹣BCDE中,側(cè)面△ADE為等邊三角形,底面 BCDE是等腰梯形,且CD∥B E,DE=2,CD=4,∠CD E=60°,M為D E的中點(diǎn),F(xiàn)為AC的中點(diǎn),且AC=4.
(1)求證:平面 ADE⊥平面BCD;
(2)求證:FB∥平面ADE;
(3)求四棱錐A﹣BCDE的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家,他編著的《海島算經(jīng)》中有一問(wèn)題:“今有望海島,立兩表齊,高三丈,前后相去千步,令后表與前表相直。從前表卻行一百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合。從后表卻行百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合。問(wèn)島高幾何?” 意思是:為了測(cè)量海島高度,立了兩根表,高均為5步,前后相距1000步,令后表與前表在同一直線上,從前表退行123步,人恰觀測(cè)到島峰,從后表退行127步,也恰觀測(cè)到島峰,則島峰的高度為( )(注:3丈=5步,1里=300步)
A. 4里55步 B. 3里125步 C. 7里125步 D. 6里55步
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知⊙C過(guò)點(diǎn)P(1,1),且與⊙M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱.
(1)求⊙C的方程;
(2)設(shè)Q為⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求 的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量 , ,且 ,f(x)= ﹣2λ| |(λ為常數(shù)), 求:
(1) 及| |;
(2)若f(x)的最小值是 ,求實(shí)數(shù)λ的值.
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