Question

（2011•安徽模擬）設(shè)函數(shù)f(x)=1nx+

1

x-2

+ax(a≥0)
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f(x)在(0，1]上的最大值為

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：f′(x)=

1

x

-

1

(x-2)2

+a，定義域（0，2）∪（2，+∞）．單調(diào)性的處理，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行穿線判別符號(hào)完成．
（II）當(dāng)x∈(0，1]，f′(x)=

1

x

-

1

(x-2)2

+a＞0為單調(diào)遞增，f(x)max=f(1)=a-1=

1

2

，由此能能求出a=

3

2

．

解答：解：（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：f′(x)=

1

x

-

1

(x-2)2

+a，定義域（0，2）∪（2，+∞）…（2分）
單調(diào)性的處理，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行穿線判別符號(hào)完成．
當(dāng)a=0時(shí)，令f′(x)=

1

x

-

1

(x-2)2

=0，得

(x-1)(x-4)

x(x-2)2

=0…（4分）

當(dāng)x∈(0，1)和x∈(4，+∞)，f′(x)＜0為增區(qū)間 當(dāng)x∈(1，2)和x∈(2，4)，f′(x)＜0為減區(qū)間．…(6分)

（II）當(dāng)x∈(0，1]，f′(x)=

1

x

-

1

(x-2)2

+a＞0為單調(diào)遞增，
∴f(x)max=f(1)=a-1=

1

2

，
∴a=

3

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法和f(x)在(0，1]上的最大值為

1

2

，求a的值．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．