(2011•安徽模擬)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx+c在(-∞,0)上是減函數(shù),在(0,1)上是增函數(shù),函數(shù)f(x)在R上有三個(gè)零點(diǎn),且1是其中一個(gè)零點(diǎn).
(1)求b的值;
(2)求a的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出x=0是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令f′(0)=0,求出b的值.
(2)將b的值代入f(x),將x=1代入f(x)的解析式令其值為0,得到a,c的關(guān)系,求出導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)為0,得到函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),據(jù)函數(shù)的三個(gè)根,令
2a
3
>1
求出a的范圍.
解答:解:(1)∵f(x)=-x3+ax2+bx+c
∴f'(x)=-3x2+2ax+b.
因?yàn)閒(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),在(0,1)上是增函數(shù),
所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)取到極小值,即f'(0)=0
∴b=0.
(2)由(1)知,f(x)=-x3+ax2+c
∵1是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),即f(1)=0,
∴c=1-a
∵f'(x)=-3x2+2ax=0的兩個(gè)根分別為x1=0,x2=
2a
3

又∵f(x)在(0,1)上是增函數(shù),且函數(shù)f(x)在R上有三個(gè)零點(diǎn),
x2=
2a
3
>1

a>
3
2
點(diǎn)評(píng):函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0,導(dǎo)函數(shù)大于0對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;導(dǎo)函數(shù)小于0對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•安徽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
,x∈[0,π]

(Ⅰ)求f(x)的值域;
(Ⅱ)記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,若f(B)=1,b=1,c=
3
,求a
的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•安徽模擬)已知f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ex-1(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則f(ln
1
2
)=( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•安徽模擬)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)中,F(xiàn)為右焦點(diǎn),A為左頂點(diǎn),點(diǎn)B(0,b)且AB⊥BF,則此雙曲線的離心率為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•安徽模擬)已知函數(shù)f(x)=sinx-
x2
的導(dǎo)數(shù)為f'(x),且f'(x)的最大值為b,若g(x)=2lnx-2bx2-kx在[1,+∞)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
[0,+∞)
[0,+∞)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案