【題目】如圖,在三棱柱中,,,且,底面,為中點,點為上一點.
(1)求證: 平面;
(2)求二面角 的余弦值;
(3)設,若,寫出的值(不需寫過程).
【答案】(1)見解析;(2);(3).
【解析】
(1)證明 平面,只要在面內找到一條直線與平行;
(2)以,,分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,寫出兩個面的法向量,再求法向量的夾角,結合圖形發(fā)現(xiàn)二面角的平面角為鈍角,從而求得二面角的余弦值。
(3)由,可證得平面,進而得到,再利用相似得到為中點。
(1)連接交于,連接,
因為四邊形為矩形,,為對角線,
所以為中點,又因為為中點,
所以,平面,平面,
所以 //平面.
(2)因為底面,所以底面,
又,所以以,,分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.
則,,,.,,
設平面的法向量為,則有,即
令,則.
由題意底面,所以為平面的法向量,
所以,又由圖可知二面角為鈍二面角,
所以二面角 的余弦值為。
(3).
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【題目】在平面直角坐標系中,已知點,直線設圓C的半徑為1,圓心在直線l上.
(1)若圓心C也在直線上,過點作圓C的切線,求切線的方程;
(2)若圓C上存在點M,使得,求圓心C的橫坐標的取值范圍.
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【題目】對于定義在上的函數(shù),有下列四個命題:
①若是奇函數(shù),則的圖象關于點對稱;
②若對,有,則的圖象關于直線對稱;
③若對,有,則的圖象關于點對稱;
④函數(shù)與函數(shù)的圖像關于直線對稱.
其中正確命題的序號為__________.(把你認為正確命題的序號都填上)
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【題目】某企業(yè)2018年招聘員工,其中,,,,五種崗位的應聘人數(shù)、錄用人數(shù)和錄用比例(精確到1%)如下:
崗位 | 男性 應聘人數(shù) | 男性 錄用人數(shù) | 男性 錄用比例 | 女性 應聘人數(shù) | 女性 錄用人數(shù) | 女性 錄用比例 |
269 | 167 | 40 | 24 | |||
40 | 12 | 202 | 62 | |||
177 | 57 | 184 | 59 | |||
44 | 26 | 38 | 22 | |||
3 | 2 | 3 | 2 | |||
總計 | 533 | 264 | 467 | 169 |
(1)從表中所有應聘人員中隨機選擇1人,試估計此人被錄用的概率;
(2)從應聘崗位的6人中隨機選擇2人.記為這2人中被錄用的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望;
(3)表中,,,,各崗位的男性、女性錄用比例都接近(二者之差的絕對值不大于),但男性的總錄用比例卻明顯高于女性的總錄用比例.研究發(fā)現(xiàn),若只考慮其中某四種崗位,則男性、女性的總錄用比例也接近,請寫出這四種崗位.(只需寫出結論)
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【題目】(本小題滿分12分)
在如圖所示的多面體中,四邊形和都為矩形。
(Ⅰ)若,證明:直線平面;
(Ⅱ)設, 分別是線段, 的中點,在線段上是否存在一點,使直線平面?請證明你的結論。
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【題目】已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0},B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∪B=A,求實數(shù)m的取值;
(2)若A∩B={x|0≤x≤3},求實數(shù)m的值;
(3)若A,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】設橢圓的右焦點為,離心率為,過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為 .
(1)求橢圓的方程;
(2)若上存在兩點,橢圓上存在兩個點滿足:三點共線,三點共線,且,求四邊形的面積的最小值.
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【題目】某中學團委組織了“弘揚奧運精神,愛我中華”的知識競賽,從參加考試的學生中抽出60名學生,將其成績(均為整數(shù))分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形給出的信息,回答下列問題:
(1)求第四小組的頻率,并補全這個頻率分布直方圖;
(2)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分;
(3)從成績是[40,50)和[90,100]的學生中選兩人,求他們在同一分數(shù)段的概率.
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【題目】已知等差數(shù)列與等比數(shù)列是非常數(shù)的實數(shù)列,設.
(1)請舉出一對數(shù)列與,使集合中有三個元素;
(2)問集合中最多有多少個元素?并證明你的結論;
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