Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)y=f（x），滿足f（2）=0，函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）中心對稱，且對任意的負(fù)數(shù)x1，x2（x1≠x2），恒成立，則不等式f（x）＜0的解集為____．

Answer 1

【答案】（-∞，-2）∪（0，2）

【解析】

根據(jù)條件判斷函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x2107f（x），研究函數(shù)h（x）的奇偶性和取值情況，進(jìn)行求解即可．

∵函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）中心對稱，

∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）中心對稱，即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，

對對任意的負(fù)數(shù)x1，x2（x1≠x2），恒成立，

不妨設(shè)x1＜x2，則x12107f（x1）-x22107f（x2）＞0，

設(shè)h（x）=x2107f（x），則不等式等價(jià)為h（x1）＞h（x2），且函數(shù)h（x）是偶函數(shù)，

即h（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，∵f（2）=0，∴h（2）=22107f（2）=0，

則當(dāng)x＞0時(shí)，不等式f（x）＜0等價(jià)為不等式x2107f（x）＜0，即h（x）＜0

當(dāng)x＜0時(shí)，不等式f（x）＜0等價(jià)為不等式x2107f（x）＞0，即h（x）＞0，

當(dāng)x＞0時(shí)，由h（x）＜0得0＜x＜2，

當(dāng)x＜0時(shí)，由h（x）＞0得x＜-2，

即f（x）＜0的解集為（-∞，-2）∪（0，2），

故答案為：（-∞，-2）∪（0，2）．