【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+3.
(1)若f(x)在(﹣∞, ]是減函數(shù),在[ ,+∞)是增函數(shù),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣1,5]的最大值和最小值.
(2)求實數(shù)a的取值范圍,使f(x)在區(qū)間[﹣5,5]上是單調(diào)函數(shù),并指出相應(yīng)的單調(diào)性.

【答案】
(1)解:∵f(x)在(﹣∞, ]是減函數(shù),在[ ,+∞)是增函數(shù),

故函數(shù)圖象開口朝上,且以直線x= 為對稱軸,

即﹣a= ,a=﹣ ,

∴f(x)=x2﹣x+3,

在區(qū)間[﹣1,5]上,

當(dāng)x= 時,函數(shù)取最小值 ,

當(dāng)x=5時,函數(shù)取最大值23.


(2)解:函數(shù)f(x)=x2+2ax+3的圖象開口朝上,且以直線x=﹣a為對稱軸,

若f(x)在區(qū)間[﹣5,5]上是單調(diào)函數(shù),

則﹣a≤﹣5,或﹣a≥5,

即a≤﹣5,或a≥5,

當(dāng)a≥5時,在[﹣5,5]上是增函數(shù),

當(dāng)a≤﹣5時,在[﹣5,5]上是減函數(shù)


【解析】(1)若f(x)在(﹣∞, ]是減函數(shù),在[ ,+∞)是增函數(shù),則函數(shù)圖象開口朝上,且以直線x= 為對稱軸,求出a值,可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣1,5]的最大值和最小值.(2)函數(shù)f(x)=x2+2ax+3的圖象開口朝上,且以直線x=﹣a為對稱軸,若f(x)在區(qū)間[﹣5,5]上是單調(diào)函數(shù),則﹣a≤﹣5,或﹣a≥5,進而得到答案.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(當(dāng)時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減).

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