Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣DEF中，側面ABED是邊長為2的菱形，且∠ABE= ，BC= ，四棱錐F﹣ABED的體積為2，點F在平面ABED內的正投影為G，且G在AE上，點M是在線段CF上，且CM= CF．
（Ⅰ）證明：直線GM∥平面DEF；
（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵四棱錐錐F﹣ABED的體積為2， 即VF﹣ABCD= ，∴FG= ．
又BC=EF= ，∴EG= ，即點G是靠近點A的四等分點．
過點G作GK∥AD交DE于點K，∴GK= ．
又MF= ，∴MF=GK且MF∥GK．
四邊形MFKG為平行四邊形，
∴GM∥FK，
∴直線GM∥平面DEF；
（Ⅱ）設AE、BD的交點為O，OB所在直線為x軸，OE所在直線為y軸，
過點O作平面ABED的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：
A（0，﹣1，0），B（ ，0，0），F（0，﹣ ， ），M（ ）．
， ， ．
設平面ABM，ABF的法向量分別為 ， ．
由 ，則 ，取y=﹣ ，得 ，
同理求得 ．
∴cos＜ ＞= ，
∴二面角M﹣AB﹣F的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由四棱錐錐F﹣ABED的體積為2求出FG，進一步求得EG，可得點G是靠近點A的四等分點．過點G作GK∥AD交DE于點K，可得GK= ．又MF= ，得到MF=GK且MF∥GK．則四邊形MFKG為平行四邊形，從而得到GM∥FK，進一步得到直線GM∥平面DEF；（Ⅱ）設AE、BD的交點為O，OB所在直線為x軸，OE所在直線為y軸，點O作平面ABED的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面ABM，ABF的法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角M﹣AB﹣F的余弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．