Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N^*，點（n，）都在函數(shù)f（x）=x+的圖象上．
（1）計算a₁，a₂，a₃，并歸納出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）將數(shù)列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁）…，分別計算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）設(shè)A_n為數(shù)列的前n項積，若不等式A_n＜f（a）-對一切n∈N^*都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得，即．分別令n=1，n=2，n=3，代入可求a₁，a₂，a₃，進而猜想a_n
（2）由a_n=2n可得數(shù)列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循環(huán)記為一組．由于每一個循環(huán)含有4個括號，故 b₁₀₀是第25組中第4個括號內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個括號中所有第1個數(shù)，所有第2個數(shù)、所有第3個數(shù)、所有第4個所有第4個數(shù)分別組成都是等差數(shù)列，公差均為20．故各組第4個括號中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80．代入可求
（3）因為，，若成立
設(shè)，則只需即可利用g（n）的單調(diào)性可求其最大值
，從而可求a的范圍
解答：解：（1）因為點在函數(shù)的圖象上，
故，所以．
令n=1，得，所以a₁=2；
令n=2，得，所以a₂=4；
令n=3，得，所以a₃=6．
由此猜想：a_n=2n．
（2）因為a_n=2n（n∈N^*），所以數(shù)列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循環(huán)記為一組．由于每一個循環(huán)含有4個括號，故 b₁₀₀是第25組中第4個括號內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個括號中所有第1個數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20．同理，由各組第4個括號中所有第2個數(shù)、所有第3個數(shù)、所有第4個數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20．故各組第4個括號中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80．注意到第一組中第4個括號內(nèi)各數(shù)之和是68，
所以 b₁₀₀=68+24×80=1988．又b₅=22，所以b₅+b₁₀₀=2010
（3）因為，故，
所以．
又，
故對一切n∈N^*都成立，就是對一切n∈N^*都成立．
設(shè)，則只需即可．
由于=，
所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是單調(diào)遞減，于是．
令，即 ，解得，或．
綜上所述，使得所給不等式對一切n∈N^*都成立的實數(shù)a的取值范圍是．
點評：本題綜合考查了利用函數(shù)的解析式求解數(shù)列的遞推公式進而求解數(shù)列的項，等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，及利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大（小）項問題的求解，屬于函數(shù)與數(shù)列知識的綜合應(yīng)用的考查