Question

【題目】若函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，方程的解的個數(shù)為偶數(shù)（可以是0個，但不能是無數(shù)個），則稱為“偶的函數(shù)”.證明：

（1）任何多項式均不是偶的函數(shù)；

（2）存在連續(xù)函數(shù)是偶的函數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）注意到，多項式的定義域為R，將其劃分為如下增減交替的單調(diào)區(qū)間：

，，，

其中，為所有的極值點.

不妨設(shè)的首項系數(shù)為正.

若為奇數(shù)，則、均為單調(diào)遞增區(qū)間.

且，.

取，則方程僅在區(qū)間上有一解，此時，不是偶的函數(shù).

若為偶數(shù)，則為單調(diào)遞減區(qū)間，為單調(diào)遞增區(qū)間.故k為奇數(shù).從而，必存在一個極值恰被奇數(shù)個取到.

考慮方程的根，根據(jù)各區(qū)間的增減交替性，恰有偶數(shù)個區(qū)間含有這些根，每個區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)為1，但其中在極值點處取到的根均被計算了兩遍，故應(yīng)扣除奇數(shù)個.

因此，方程的根是奇數(shù)個，即不是偶的函數(shù).

綜上，任何多項式均不是偶的函數(shù).

（2）構(gòu)造一個的例子.

當x為正奇數(shù)或x=0時，定義=x；

當x為正偶數(shù)時，定義=x-2；

當x為負奇數(shù)時，定義=-x+1；

當x為負偶數(shù)時，定義=-x-1.

當時，定義.

這樣定義的函數(shù)是連續(xù)的.

可以驗證，當時，無解；

當時，恰有兩個解；

當時，恰有四個解.

故所構(gòu)造的為一個偶的函數(shù).