【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,三角形ABC為等腰直角三角形,AC=BC= ,AA1=1,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC1∥平面CDB1;
(2)二面角B1﹣CD﹣B的平面角的大。

【答案】
(1)證明:在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,

設(shè)BC1∩B1C=E,則E為BC1的中點(diǎn),連接ED

∵D為AB的中點(diǎn),∴ED∥AC

又∵ED平面CDB1,AC1平面CDB1

∴AC1∥平面CDB1


(2)解:∵△ABC中,AC=BC,D為AB中點(diǎn),∴CD⊥AB,

又∵BB1⊥平面ABC,CD平面ABC,∴BB1⊥CD,

又AB∩BB1=B,∴CD⊥平面ABB1A1,

∵B1D平面ABB1A1,AB平面ABB1A1

∴CD⊥B1D,CD⊥AB,

∴∠B1DB為二面角B1﹣CD﹣B的平面角

∵三角形ABC中,AB=2,∴BD=1,

在Rt△B1BD中, ,

∴∠B1BD=45°,

∴二面角B1﹣CD﹣B的平面角的大小為45°


【解析】(1)設(shè)BC1∩B1C=E,連接ED,則ED∥AC,由此能證明AC1∥平面CDB1 . (2)推導(dǎo)出CD⊥AB,BB1⊥CD,從而CD⊥平面ABB1A1 , 進(jìn)而CD⊥B1D,CD⊥AB,∠B1DB為二面角B1﹣CD﹣B的平面角,由此能求出二面角B1﹣CD﹣B的平面角的大小.

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