Question

已知定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)（、）過已知點．
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）試證明函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；若函數(shù)在區(qū)間（其中）也是增函數(shù)，求的最小值；
（Ⅲ）試討論這個函數(shù)的單調(diào)性，并求它的最大值、最小值，在給出的坐標系（見答題卡）中畫出能體現(xiàn)主要特征的圖簡；
（Ⅳ）求不等式的解集．

Answer 1

（1）；（2）用定義法證明，的最小值為．（3），．（4）。

試題分析：（1）由奇函數(shù)得，得，又過點得；所以，顯然可以發(fā)現(xiàn)它是一個奇函數(shù)．    （3分）
（2）設(shè)，有，
這樣就有，
即函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)
對于函數(shù)在區(qū)間（）也是增函數(shù)，
設(shè)，有；
這樣，欲使成立，
須使成立，從而只要就可以，所以，就能使函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；的最小值為．   （3分）
（3）由（2）可知函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；
由奇函數(shù)可知道，函數(shù)在區(qū)間也是增函數(shù)；
那么，在區(qū)間呢？設(shè)，有；這樣，就有成立，即，所以，函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)．                                 
這樣，就有，．
圖像如下所示．  （3分）
（4）因為，，由（3）知道函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，這樣，不等式可以化為，即；    
它的解集為．   （3分）

點評：（1）若f(x)是奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則f(0)一定為0.（2）用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟：一設(shè)二作差三變形四判斷符號五得出結(jié)論，其中最重要的是四變形，最好變成幾個因式乘積的形式，這樣便于判斷符號。（3）解這類不等式的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”號。