【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣mx(m∈R).
(1)若曲線y=f(x)過點P(1,﹣1),求曲線y=f(x)在點P處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值;
(3)若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點x1 , x2 , 求證:x1x2>e2 .
【答案】
(1)解:因為點P(1,﹣1)在曲線y=f(x)上,
所以﹣m=﹣1,解得m=1.
因為f′(x)= ﹣1=0,
所以切線的斜率為0,
所以切線方程為y=﹣1
(2)解:因為f′(x)= ﹣m= .
①當(dāng)m≤0時,x∈(1,e),f′(x)>0,
所以函數(shù)f (x)在(1,e)上單調(diào)遞增,
則f (x)max=f (e)=1﹣me.
②當(dāng) ≥e,即0<m≤ 時,x∈(1,e),f′(x)>0,
所以函數(shù)f (x)在(1,e)上單調(diào)遞增,
則f (x)max=f (e)=1﹣me.
③當(dāng)1< <e,即 <m<1時,
函數(shù)f (x)在 (1, )上單調(diào)遞增,在( ,e)上單調(diào)遞減,
則f (x)max=f ( )=﹣lnm﹣1.
④當(dāng) ≤1,即m≥1時,x∈(1,e),f′(x)<0,
函數(shù)f (x)在(1,e)上單調(diào)遞減,
則f (x)max=f (1)=﹣m.
綜上,①當(dāng)m≤ 時,f (x)max=1﹣me;
②當(dāng) <m<1時,f (x)max=﹣lnm﹣1;
③當(dāng)m≥1時,f (x)max=﹣m
(3)解:不妨設(shè)x1>x2>0.
因為f (x1)=f (x2)=0,
所以lnx1﹣mx1=0,lnx2﹣mx2=0,
可得lnx1+lnx2=m(x1+x2),lnx1﹣lnx2=m(x1﹣x2).
要證明x1x2>e2,
即證明lnx1+lnx2>2,也就是m(x1+x2)>2.
因為m= ,
所以即證明 > ,
即ln > .
令 =t,則t>1,于是lnt> .
令(t)=lnt﹣ (t>1),
則′(t)= ﹣ = >0.
故函數(shù)(t)在(1,+∞)上是增函數(shù),
所以(t)>(1)=0,即lnt> 成立.
所以原不等式成立
【解析】(1)中求出斜率,代入切線方程即可;(2)中需要討論m的范圍,m的取值范圍不一樣,求出的最值不同;(3)中將所證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題得以解決.
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)當(dāng)bn= (3an+1)時,求證:數(shù)列的前n項和Tn=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下說法正確的有( )
(1)y=x+ (x∈R)最小值為2;
(2)a2+b2≥2ab對a,b∈R恒成立;
(3)a>b>0且c>d>0,則必有ac>bd;
(4)命題“x∈R,使得x2+x+1≥0”的否定是“x∈R,使得x2+x+1≥0”;
(5)實數(shù)x>y是 < 成立的充要條件;
(6)設(shè)p,q為簡單命題,若“p∨q”為假命題,則“¬p∨¬q”也為假命題.
A.2個
B.3個
C.4個
D.5個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績,按成績分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求第3,4,5組的頻率;
(2)為了了解最優(yōu)秀學(xué)生的情況,該校決定在筆試成績高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,求第3,4,5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800平米的矩形蔬菜溫室,在溫室內(nèi)沿左右兩側(cè)與后墻內(nèi)側(cè)各保留1米的通道,沿前側(cè)內(nèi)墻保留3米寬的空地,當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時,蔬菜的種植面積最大?最大的種植面積是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的值域均為R,有以下命題:
①若對于任意x∈R都有f[f(x)]=f(x)成立,則f(x)=x.
②若對于任意x∈R都有f[f(x)]=x成立,則f(x)=x.
③若存在唯一的實數(shù)a,使得f[g(a)]=a成立,且對于任意x∈R都有g(shù)[f(x)]=x2﹣x+1成立,則存在唯一實數(shù)x0 , 使得g(ax0)=1,f(x0)=a.
④若存在實數(shù)x0 , y0 , f[g(x0)]=x0 , 且g(x0)=g(y0),則x0=y0 .
其中是真命題的序號是 . (寫出所有滿足條件的命題序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x|x﹣a|的定義域為D,其中a為常數(shù);
(1)若D=R,且f(x)是奇函數(shù),求a的值;
(2)若a≤﹣1,D=[﹣1,0],函數(shù)f(x)的最小值是g(a),求g(a)的最大值;
(3)若a>0,在[0,3]上存在n個點xi(i=1,2,…,n,n≥3),滿足x1=0,xn=3,x1<x2<…<xn , 使|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xn﹣1)﹣f(xn)|= ,求實數(shù)a的取值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且a1=a(a∈R),an+1= ,n∈N*;
(1)若0<an≤6,求證:0<an+1≤6;
(2)若a=5,求S2016;
(3)若a= (m∈N*),求S4m+2的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,其中a,b,c∈R.
(1)若a=b=c=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若b=c=1,且當(dāng)x≥0時,f(x)≥1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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