Question

（2011•浙江模擬）已知函數(shù)f(x)=

-x3+x2，x＜1 alnx，     x≥1.

（Ⅰ）求f（x）在[-1，e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值；
（Ⅱ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使得POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)分段函數(shù)，分類(lèi)討論求最值，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得最值；
（Ⅱ）假設(shè)存在，設(shè)出P（t，f（t））（t＞0），利用

OP

•

OQ

=0，可得-t²+f（t）•（t³+t²）=0，是否存在點(diǎn)P，Q等價(jià)于方程是否有解，分類(lèi)討論，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="zxzv1lb" class="MathJye">f(x)=

-x3+x2，x＜1 alnx，     x≥1.

①當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f'（x）=-x（3x-2），解f'（x）＞0得到0＜x＜

2

3

；解f'（x）＜0得到-1＜x＜0或

2

3

＜x＜1．所以f（x）在（-1，0）和(

2

3

，1)上單調(diào)遞減，在(0，

2

3

)上單調(diào)遞增，
從而f（x）在x=

2

3

處取得極大值f(

2

3

)=

4

27

．…（3分），
又f（-1）=2，f（1）=0，所以f（x）在[-1，1）上的最大值為2．…（4分）
②當(dāng)1≤x≤e時(shí)，f（x）=alnx，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）≤0；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最大值為a．
所以當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）在[-1，e]上的最大值為a；當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）在[-1，e]上的最大值為2．…（8分）
（Ⅱ）假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P，Q，使得POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則P，Q只能在y軸的兩側(cè)，不妨設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），且t≠1．…（9分）
因?yàn)椤鱌OQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以

OP

•

OQ

=0，
即：-t²+f（t）•（t³+t²）=0（1）…（10分）   
是否存在點(diǎn)P，Q等價(jià)于方程（1）是否有解．
若0＜t＜1，則f（t）=-t³+t²，代入方程（1）得：t⁴-t²+1=0，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．…（11分）
若t＞1，則f（t）=alnt，代入方程（1）得到：

1

a

=(t+1)lnt，…（12分）
設(shè)h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則h′(x)=lnx+

1

x

＞0在[1，+∞）上恒成立．
所以h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，從而h（x）≥h（1）=0，
所以當(dāng)a＞0時(shí)，方程

1

a

=(t+1)lnt有解，即方程（1）有解．…（14分）
所以，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使得POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查存在性問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．