【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知是橢圓上的一點(diǎn),從原點(diǎn)向
圓作兩條切線,分別交橢圓于點(diǎn).
(1)若點(diǎn)在第一象限,且直線互相垂直,求圓的方程;
(2)若直線的斜率存在,并記為,求的值;
(3)試問是否為定值?若是,求出該值;若不是,說明理由.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
試題分析:(1)由圓的方程可知,圓的半徑,,由此可求出圓的方程;(2)由已知得直線和都與圓相切,化簡可得,再利用點(diǎn)在橢圓上,即可求解的值;(3)當(dāng)直線不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè),利用直線方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組,得出,同理,由此可求解為定值.
試題解析:(1)由圓的方程知圓的半徑,因?yàn)橹本,互相垂直,且和圓相切,所以,即 ①
又點(diǎn)在橢圓上,所以 ②
聯(lián)立①②,解得,所以,所求圓的方程為.
(2)因?yàn)橹本和都與圓相切,所以,,化簡得,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,即,所以.
(3)方法一(1)當(dāng)直線,不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè),,
由(2)知,所以,故.因?yàn)?/span>,在橢圓上,所以,,
即,,所以,
整理得,所以
所以.
方法(二)(1)當(dāng)直線,不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè),,
聯(lián)立,解得,,所以,
同理,得.由(2),得,
所以
.
(2)當(dāng)直線,落在坐標(biāo)軸上時(shí),顯然有.
綜上:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓的左焦點(diǎn)為,橢圓上任意點(diǎn)到的最遠(yuǎn)距離是,過直線與軸的交點(diǎn)任作一條斜率不為零的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:、、三點(diǎn)共線;
(3)求面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)為何值時(shí),直線是曲線的切線;
(2)若不等式在上恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠對一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測.右圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位:克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖,其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是( ).
A. 90B. 75C. 60D. 45
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知菱形與直角梯形所在的平面互相垂直,其中,,,,為的中點(diǎn)
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)為線段上一點(diǎn),,若直線與平面所成角的正弦值為,求的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為.已知,其中為原點(diǎn), 為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程及離心率的值;
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)(不在軸上),垂直于的直線與交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn).若,且,求直線的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件,在單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)技工加工的合格零件數(shù),按十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉得到的莖葉圖如圖所示.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為10.
(1)求的值;
(2)分別求出甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差和,并由此分析兩組技工的加工水平;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓()的左、右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為.已知.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),經(jīng)過原點(diǎn)的直線與該圓相切,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為增強(qiáng)市民的節(jié)能環(huán)保意識,某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.從符合條件的 500 名志愿者中隨機(jī)抽取 100 名志愿者,其年齡頻率分布直方圖如圖所示,其中年齡分組區(qū)間是[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45].
(1)求圖中x的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這 500 名志愿者中年齡在[35,40)歲的人數(shù);
(2)在抽出的 100 名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取 20 名參加中心廣場的宣傳活動,再從這 20 名中采用簡單隨機(jī)抽樣方法選取 3 名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人.記這 3 名志愿者中“年齡低于 35 歲”的人數(shù)為 X,求 X 的分布列及均值.
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