Question

（2008•湖北模擬）已知向量

a

=(2cosx，tan(x+α))，

b

=(

2

sin(x+α)，tan(x-α))，已知角α(α∈(-

π

2

，

π

2

))的終邊上一點(diǎn)P（-t，-t）（t≠0），記f(x)=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值，最小正周期；
（2）作出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析：（1）由角α(α∈(-

π

2

，

π

2

))的終邊上一點(diǎn)P（-t，-t）（t≠0），可得tanα=1，即α=

π

4

，進(jìn)而得到f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
（2）首先根據(jù)x的范圍求出2x+

π

4

的范圍，再列表，進(jìn)而結(jié)合五點(diǎn)作圖法畫(huà)出函數(shù)的圖象．

解答：解：（1）因?yàn)榻?span id="uuc2tb7" class="MathJye">α(α∈(-

π

2

，

π

2

))的終邊上一點(diǎn)P（-t，-t）（t≠0）
所以tanα=1，
所以α=

π

4

，
所以f(x)=

a

•

b

=2

2

cosxsin(x+

π

4

)+tan(x+

π

4

)(x-

π

4

)
=2cosxsinx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)
所以f（x）的最大值為

2

，最小正周期T=π．
（2）列表：

2x+ π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
y	1	2	0	- 2	0	1

所以f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)的圖象為：

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用二倍角的正弦余弦公式對(duì)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，輔助角公式ainx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)的運(yùn)用，正弦函數(shù)的最值及周期性的求解，五點(diǎn)法作三角函數(shù)的圖象，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．