Question

（2008•湖北模擬）某工廠去年某產(chǎn)品的年產(chǎn)量為100萬只，每只產(chǎn)品的銷售價(jià)為10元，固定成本為8元．今年，工廠第一次投入100萬元（科技成本），并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元（科技成本），預(yù)計(jì)產(chǎn)量年遞增10萬只，第n次投入后，每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)=

k

n+1

（k＞0，k為常數(shù)，n∈Z且n≥0），若產(chǎn)品銷售價(jià)保持不變，第n次投入后的年利潤為f（n）萬元．
（1）求k的值，并求出f（n）的表達(dá)式；
（2）問從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)每只產(chǎn)品的固定成本為8元及關(guān)系式為g(n)=

k

n+1

，可求k的值，利用第n次投入后的年利潤為f（n）萬元，可建立函數(shù)關(guān)系式；
（2）先由（1）可得利潤函數(shù)，再用基本不等式求最高利潤．

解答：解：（1）由g(n)=

k

n+1

，當(dāng)n=0時(shí)，由題意，可得k=8，
所以f（n）=（100+10n）(10-

8

n+1

)-100n．
（2）由f(n)=(100+10n)(10-

8

n+1

)-100n=1000-80(

n+10

n+1

)=1000-80(

n+1

+

9

n+1

)≤1000-80×2

9

=520．
當(dāng)且僅當(dāng)

n+1

=

9

n+1

，即n=8時(shí)取等號(hào)，所以第8年工廠的利潤最高，最高為520萬元

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，主要考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型．