Question

某校興趣小組運(yùn)用計(jì)算機(jī)對(duì)輪船由海上行駛?cè)雰?nèi)陸海灣進(jìn)行了一次模擬試驗(yàn)．如圖，內(nèi)陸海灣的入口處有暗礁，圖中陰影所示的區(qū)域?yàn)榘到竻^(qū)，其中線段AA₁，B₁B，CC₁，D₁D關(guān)于坐標(biāo)軸或原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，線段B₁B的方程為y=x，x∈[a，b]，過(guò)o有一條航道．有一艘正在海面上航行的輪船準(zhǔn)備進(jìn)入內(nèi)陸海灣，在點(diǎn)M(-

5

2

a，0)處測(cè)得該船發(fā)出的汽笛聲的時(shí)刻總晚1s（設(shè)海面上聲速為am/s）．若該船沿著當(dāng)前的航線航行（不考慮輪船的體積）
（Ⅰ）問(wèn)興趣小組觀察到輪船的當(dāng)前的航線所在的曲線方程是什么？
（Ⅱ）這艘船能否由海上安全駛?cè)雰?nèi)陸海灣？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)輪船所在的位置為P，由題意在點(diǎn)M處測(cè)得該船發(fā)出的汽笛聲的時(shí)刻總晚1s，可得|PM|-|PN|=a，結(jié)合雙曲線的定義，可得故點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，代入數(shù)據(jù)可得答案，
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=y₀，分0≤y₀≤a時(shí)與y₀≥a時(shí)兩種情況討論，每種情況下，分別設(shè)出l與雙曲線右支、直線y=x的交點(diǎn)，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷l(xiāng)與雙曲線的交點(diǎn)與y=x的位置關(guān)系，即可得答案．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)輪船所在的位置為P，由題意可得|PM|-|PN|=a．∵a＜|MN|，
故點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支．
設(shè)點(diǎn)P的軌跡方程為

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）則m=

1

2

an=

5a2 4 - a2 4

=a，
∴興趣小組觀察到輪船的當(dāng)前航線所在的曲線方程是4x²-y²=a²（x＞0）；
（II）這艘船能由海上安全駛?cè)雰?nèi)陸海灣．
設(shè)直線l的方程為y=y₀
①當(dāng)0≤y₀≤a時(shí)，設(shè)l與雙曲線右支、直線y=x分別交于點(diǎn)Q₁，S₁，則 Q1(

1

2

y02+a2

，y0)，S₁（a，y₀），
∵

1

2

y02+a2

＜

1

2

a2+a2

＜a∴點(diǎn)Q₁在點(diǎn)S₁的左側(cè)，∴船不可能進(jìn)入暗礁區(qū)，
②當(dāng)y₀≥a時(shí)，設(shè)l與雙曲線右支、直線y=x分別交于點(diǎn)Q₂，S₂，
則Q2(

1

2

y02+a2

，y0)，S₂（y₀，y₀），
∵

1

4

(y02+a2)-y02=-

3y02-a2

4

＜0∴

1

2

y02+a2

＜y0∴Q₂在點(diǎn)S₂的右側(cè)，∴船不可能進(jìn)入暗礁區(qū)．
綜上，在x軸上方，船不可能進(jìn)入暗礁區(qū)，由對(duì)稱(chēng)性可知，船能由海上安全駛?cè)雰?nèi)陸海灣．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的運(yùn)用，解此類(lèi)題目時(shí)，要注意結(jié)合題意，務(wù)必明確所求得的軌跡是雙曲線的兩支還是其中一支．