Question

某校興趣小組運(yùn)用計(jì)算機(jī)對(duì)輪船由海上行駛進(jìn)入內(nèi)陸港灣進(jìn)行了一次模擬試驗(yàn).如圖,內(nèi)陸港灣的入口處有暗礁,圖中陰影所示的區(qū)域?yàn)楹０逗桶到竻^(qū),其中線段AA₁,B₁B,CC₁,D₁D關(guān)于坐標(biāo)軸或原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),線段B₁B的方程為y=x,x∈［a,b］,過(guò)點(diǎn)O有一條航道.有一艘正在海面上航行的輪船準(zhǔn)備進(jìn)入內(nèi)陸港灣,在點(diǎn)M(a,0)處測(cè)得該輪船發(fā)出的汽笛聲的時(shí)刻比點(diǎn)N(a,0)處總晚1 s(設(shè)海面上聲速為a m/s),若該輪船照著當(dāng)前的航線航行(不考慮輪船的體積),

(1)問(wèn)興趣小組觀察到輪船當(dāng)前的航線所在的曲線方程是什么?

(2)這艘輪船能否由海上安全駛?cè)雰?nèi)陸港灣?請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解:(1)設(shè)輪船所在的位置為P,因?yàn)樵邳c(diǎn)M(a,0)處測(cè)得該輪船發(fā)出的汽笛聲的時(shí)刻比點(diǎn)N(a,0)處總晚1 s,海面上聲速為a m/s,

所以|PM|-|PN|=a.

因?yàn)閍＜|MN|,所以點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

設(shè)點(diǎn)P的軌跡方程為=1(m＞0,n＞0),

則m=a,n==a.

所以興趣小組觀察到輪船的航線所在的曲線方程為4x²-y²=a²(x＞0).6分

(2)這艘輪船能由海上安全駛?cè)雰?nèi)陸港灣,

設(shè)直線l的方程為y=y₀,則

①當(dāng)0≤y₀＜a時(shí),設(shè)l與雙曲線的右支,直線x=a分別交于點(diǎn)Q₁,S₁,則

Q₁(,y₀),S₁(a,y₀).

因?yàn)?SUB>＜＜a,

所以點(diǎn)Q₁在點(diǎn)S₁的左側(cè).

所以輪船不可能進(jìn)入暗礁區(qū).

②當(dāng)y₀≥a時(shí),設(shè)l與雙曲線右支、直線y=x分別交于點(diǎn)Q₂,S₂,則Q₂(,y₀),S₂(y₀,y₀).

因?yàn)?SUB>(y₀²+a²)-y₀²=＜0,

所以y₀²+a²＜y₀.

所以點(diǎn)Q₁在點(diǎn)S₁的左側(cè),所以輪船不可能進(jìn)入暗礁區(qū).