【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,EAB的中點.

(Ⅰ)求證:AN∥平面MEC;

(Ⅱ)在線段AM上是否存在點P,使二面角P﹣EC﹣D的大小為 ?若存在,求出AP的長h;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析:

(1)利用題意證得ANEF,結(jié)合線面平行的判斷定理可得AN∥平面MEC;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系可得,存在點P滿足題意,其中 .

試題解析:

I)CMBN交于F,連接EF.

由已知可得四邊形BCNM是平行四邊形,所以FBN的中點.

因為EAB的中點,所以ANEF.

EF平面MEC,AN平面MEC,所以AN∥平面MEC.

(II)由于四邊形ABCD是菱形,EAB的中點,可得DEAB.

又四邊形ADNM是矩形,面ADNM⊥面ABCD,

DN⊥面ABCD,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz,

D(0,0,0),E(,0,0),C(0,2,0),P(,﹣1,h),

=(,﹣2,0),=(0,﹣1,h),

設(shè)平面PEC的法向量為=(x,y,z).

,令y=h,=(2h, h,),

又平面ADE的法向量=(0,0,1),

cos,===,解得h=,

∴在線段AM上是否存在點P,當(dāng)h=時使二面角P﹣EC﹣D的大小為

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A.
B.
C.
D.

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分?jǐn)?shù)大于等于120分

分?jǐn)?shù)不足120分

合計

周做題時間不少于15小時

4

19

周做題時間不足15小時

合計

45

(1)請完成上面的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間有關(guān)”;

(2)(。┌凑辗謱映闃拥姆椒,在上述樣本中,從分?jǐn)?shù)大于等于120分和分?jǐn)?shù)不足120分兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生,設(shè)抽到的不足120分且周做題時間不足15小時的人數(shù)是,求的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);

(ⅱ)若將頻率視為概率,從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機抽取20人,求這些人中周做題時間不少于15小時的人數(shù)的期望和方差.

附:

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