Question

給出下列四個(gè)命題：
①命題p：?x∈R，sinx≤1，則?p：?x∈R，sinx＜1．
②當(dāng)a≥1時(shí)，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集為非空．
③當(dāng)x＞0時(shí)，有l(wèi)nx+

1

lnx

≥2．
④設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1-i）z=2i，則z=1-i．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，是條件不變，否定結(jié)論，來判斷①是否正確；
舉例判斷②是否正確；
利用基本不等式求最值，來驗(yàn)證③是否正確；
④根據(jù)所給的等式兩邊同時(shí)除以1-i，得到z的表示式，進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，整理成最簡(jiǎn)形式，得到結(jié)果．

解答：解：對(duì)①，￢P：：?x∈R，sinx＞1，故①為假命題；
對(duì)②，當(dāng)a=1時(shí)，∵|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，∴不等式|x-4|+|x-3|＜1的解集為空集，故②為假命題；
對(duì)③，∵x＞1，∴l(xiāng)nx＞0，∴l(xiāng)nx+

1

lnx

≥2，當(dāng) lnx=1即x=10時(shí)取等號(hào)，故③是假命題；
對(duì)④，∵復(fù)數(shù)z滿足z（1-i）=2i，
∴z=

2i

1-i

=

2i(1+i)

(1-i)(1+i)

=-1+i，故④為假命題．
故答案為：A

點(diǎn)評(píng)：本題借助考查命題的真假判斷，考查了全稱命題的否定、絕對(duì)值不等式、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．利用基本不等式求最值時(shí)，要注意：一“正”；二“定”；三“相等”．