【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，右頂點(diǎn)為，直線過原點(diǎn)，且點(diǎn)在x軸的上方，直線與分別交直線：于點(diǎn)、.

（1）若點(diǎn)，求橢圓的方程及△ABC的面積；

（2）若為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與的斜率分別為、.

①試問是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出；否則，請(qǐng)說明理由；

②求△AEF的面積的最小值.

【答案】（1）（2）①②

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意的離心率及點(diǎn)B的坐標(biāo)，建立方程，求出a的值，即可求△ABC的面積；（2）①為定值，證明，由（1）得，即可得到結(jié)論；②設(shè)直線AB的方程為y=k1（x-a），直線AC的方程為y=k2（x-a），令x=a+1得，求出△AEF的面積，結(jié)合①的結(jié)論，利用基本不等式，可求△AEF的面積的最小值

試題解析：（1）由題意得 解得

橢圓的方程為 ……………………………………………………3分

△ABC的面積.………………………4分

（2）① 為定值，下證之：

證明：設(shè)，則，且.………………5分

而………………………7分

由離心率，得

所以，為定值.……………………………………………8分

②由直線的點(diǎn)斜式方程，得直線的方程為，直線的方程為. 令

，得，.

所以，△AEF的面積…………………………10分

由題意，直線的斜率. 由①，

于是，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).………………………………11分

所以，△AEF的面積的最小值為.………12分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列結(jié)論正確的是

①在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布.若在內(nèi)取值的概率為0.35，則在內(nèi)取值的概率為0.7；

②以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，其變換后得到線性回歸方程，則；

③已知命題“若函數(shù)在上是增函數(shù)，則”的逆否命題是“若，則函數(shù)在上是減函數(shù)”是真命題；

④設(shè)常數(shù)，則不等式對(duì)恒成立的充要條件是.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，動(dòng)點(diǎn)滿足：直線與直線的斜率之積為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，與（1）的軌跡分別交于兩點(diǎn)，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線的右頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn),直線,動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離.

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）是否存在過的直線,使得直線被曲線截得的弦恰好被點(diǎn)所平分？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖, 橢圓的離心率是,點(diǎn)在橢圓上, 設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn), 過 點(diǎn)引橢圓的兩條弦、.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與的斜率是互為相反數(shù).

①直線的斜率是否為定值？若是求出該定值, 若不是,說明理由；

②設(shè)、的面積分別為和 ,求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）如圖，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是.求證：直線恒過一定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以邊長(zhǎng)為4的等比三角形的頂點(diǎn)以及邊的中點(diǎn)為左、右焦點(diǎn)的橢圓過兩點(diǎn).

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)且軸不垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求證直線與的交點(diǎn)在一條直線上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.

（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.(其中，e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

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