如圖所示，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BM∥平面PAD；
（2）在側(cè)面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD；
（3）求直線PC與平面PBD所成角的正弦．
（1）證明：取PD的中點(diǎn)E，連接EM，EA，則EM∥AB，且EM=AB
所以四邊形ABME為平行四邊形，所以BM∥AE
又AE?平面PAD，BM不在平面PAD內(nèi)，∴BM∥平面PAD；
（2）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

則B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（1，1，1），E（0，1，1）
假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，則在平面PAD內(nèi)，設(shè)N（0，y，z）
∴
MN
=(-1，y-1，z-1)，
PB
=(1，0，-2)，
DB
=(1，-2，0)
由
MN
•
PB
=0，
MN
•
DB
=0，可得
-1-2z+2=0
-1-2y+2=0
，∴
y=
1
2
z=
1
2

∴N（0，
1
2
，
1
2
），∴N是AE的中點(diǎn)，此時MN⊥平面PBD；
（3）設(shè)直線PC與平面PBD所成的角為θ，則
PC
=(2，2，-2)，
MN
=(-1，-
1
2
，-
1
2
)，
設(shè)＜
PC
，
MN
＞為α，則cos＜
PC
，
MN
＞=
PC
•
MN
|
PC
||
MN
|
=
-2
2
3
×
6
2
=-
2
3

∴sinθ=-cosα=
2
3

故直線PC與平面PBD所成角的正弦值為
2
3
•
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若平面α與β的法向量分別是
a
=(2，4，-3)，
b
=(-1，2，2)，則平面α與β的位置關(guān)系是（　　）
A．平行B．垂直
C．相交但不垂直D．無法確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，則當(dāng)△AEF的面積最大時，tanθ的值為（　　）
A．2B．
1
2
C．
2
D．
2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是梯形，AD∥BC且∠ADC=60°，BC=2AD=4．
（1）求證：DC⊥PA；
（2）在PB上是否存在一點(diǎn)M（不包含端點(diǎn)P，B）使得二面角C-AM-B為直二面角，若存在求出PM的長，若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=
1
2
CD=a，PD=
2
a．
（1）若M為PA中點(diǎn)，求證：AC∥平面MDE；
（2）求平面PAD與PBC所成銳二面角的大�。ɡ恚�
求二面角P-AC-D的正切值的大�。ㄎ模�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D，E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．則A1B與平面ABD所成角的余弦值（　�。�
A．
1
2
B．
3
2
C．
7
3
D．
6
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知等腰梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=1，高DO=1．以高線DO為折痕，將平面ADO折起，使得平面ADO⊥平面BCDO，點(diǎn)H為棱AC的中點(diǎn)．
（1）求直線OC與直線AB所成的余弦值；
（2）求平面ADO與平面ACB所成的銳二面角的余弦值；
（3）在平面ADO內(nèi)找一點(diǎn)G，使得GH⊥平面ACB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

[2013·微山一中]在△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，如果2＋＝－， 那么△PBC的面積與△ABC的面積之比是(　　)
A．B．C．D．

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同步練習(xí)冊答案