【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為，點(diǎn)，在橢圓上，在線段上，且的周長(zhǎng)等于．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過圓上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線和與圓交于點(diǎn)，，求面積的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由的周長(zhǎng)為可得，由離心率得，進(jìn)而的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先根據(jù)韋達(dá)定理證明兩切斜線斜率積為，進(jìn)而得兩切線垂直，得線段為圓的直徑，，然后根據(jù)不等式及圓的幾何意義求的最大值．

試題解析：（1）由的周長(zhǎng)為，得，，由離心率，得，．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．

（2）設(shè)，則．

（ⅰ）若兩切線中有一條切線的斜率不存在，則，，另一切線的斜率為0，從而．此時(shí)，．

（ⅱ）若切線的斜率均存在，則，設(shè)過點(diǎn)的橢圓的切線方程為，

代入橢圓方程，消并整理得：．

依題意，．

設(shè)切線，的斜率分別為，，從而，即．

線段為圓的直徑，．

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值4．由（ⅰ）（ⅱ）可得：最大值是4．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，是兩條不同直線，，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（ ）

A.若，垂直于同一平面，則與平行

B.若，平行于同一平面，則與平行

C.若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線

D.若，不平行，則與不可能垂直于同一平面

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某制造廠商10月份生產(chǎn)了一批乒乓球，從中隨機(jī)抽取個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)球的直徑（單位：），將數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，得到如下頻率分布表：

（1）求、、及、的值，并畫出頻率分布直方圖（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；

（2）已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為，直徑誤差不超過的為五星乒乓球，若這批乒乓球共有個(gè)，試估計(jì)其中五星乒乓球的數(shù)目；

（3）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值（例如區(qū)間的中點(diǎn)值是）作為代表，估計(jì)這批乒乓球直徑的平均值和中位數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的離心率，圓與直線相切，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)任作一直線交橢圓于兩點(diǎn)，記，若在線段上取一點(diǎn),使得，試判斷當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)是否在某一定直一上運(yùn)動(dòng)？若是，請(qǐng)求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】老師講一道數(shù)學(xué)題，李峰能聽懂的概率是0.8，是指（ ）

A.老師每講一題，該題有80%的部分能聽懂，20%的部分聽不懂

B.老師在講的10道題中，李峰能聽懂8道

C.李峰聽懂老師所講這道題的可能性為80%

D.以上解釋都不對(duì)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線（）.

（1）求直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若直線交負(fù)半軸于，交軸正半軸于，為坐標(biāo)系原點(diǎn)，的面積為，求的最小值并求此時(shí)直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某制造廠商10月份生產(chǎn)了一批乒乓球，從中隨機(jī)抽取個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)球的直徑（單位：），將數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，得到如下頻率分布表：

（1）求、、及、的值，并畫出頻率分布直方圖（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；

（2）已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為，直徑誤差不超過的為五星乒乓球，若這批乒乓球共有個(gè)，試估計(jì)其中五星乒乓球的數(shù)目；

（3）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值（例如區(qū)間的中點(diǎn)值是）作為代表，估計(jì)這批乒乓球直徑的平均值和中位數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）求整數(shù)的值，使函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值；

（2）當(dāng)時(shí)，是否存在正實(shí)數(shù)，當(dāng)（是自然對(duì)數(shù)底數(shù)）時(shí)，函數(shù)的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

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