Question

（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)f (x)＝x³－x²＋ax．

(Ⅰ)函數(shù)f (x)在（11, 2012）內(nèi)單調(diào)遞減，求a范圍；

(Ⅱ) 若實(shí)數(shù)a滿足1＜a≤2，函數(shù)g(x)＝4x³＋3bx²－6(b＋2)x (b∈R) 的極小值點(diǎn)與f (x)的極小值點(diǎn)相同，求證：g(x)的極大值小于等于10．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

(Ⅰ) 解：f ′(x)＝x²－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．

由題意2012≤a…………4分【其他方法酌情給分】

(Ⅱ) (Ⅱ) 解：f ′(x)＝x²－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．

由于a＞1，所以f (x)的極小值點(diǎn)x＝a，則g(x)的極小值點(diǎn)也為x＝a．……6分

而g ′ (x)＝12x²＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，所以，

即b＝－2(a＋1)．又因?yàn)?＜a≤2，……8分

所以  g(x)_極大值＝g(1)＝4＋3b－6(b＋2)＝－3b－8＝6a－2≤10．

故g(x)的極大值小于等于10．…………………………11分