Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PA、PB、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥平面PAD；
（2）求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小；
（3）若M為線段AB上靠近A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)當(dāng)AM長(zhǎng)度等于多少時(shí)，直線MF與平面EFG所成角的正弦值等于

15

5

？

Answer 1

分析：方法一（1）由面面垂直來(lái)證線面垂直，本題中先證明AB⊥平面PAD，再由EF∥AB得出EF⊥平面PAD；
（2）建立空間坐標(biāo)系，分別求出兩平面的法向量用相關(guān)公式求出兩個(gè)平面的夾角的余弦值，再求出角的大�。�
（3）設(shè)AM=x，給出相應(yīng)的坐標(biāo)，求出向量MF的坐標(biāo)，利用線面角的相關(guān)公式求出線面角；
方法二  在（1）的證明中用了向量，其它基本與方法一同；
方法三  完全用幾何法解決問(wèn)題（1）中用的是線面平行的判定定理；
（2）根據(jù)幾何性質(zhì)作出二面角的平面角，再證明，求之；
（3）作出線面角，根據(jù)正弦值等于

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5

建立關(guān)于參數(shù)的方程，求出參數(shù)值．

解答：解：
方法1：（1）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，（2分）
∵E、F為PA、PB的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，∴EF⊥平面PAD；（4分）
（2）解：過(guò)P作AD的垂線，垂足為O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD．
連OG，以O(shè)G，OD，OP為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，（6分）
∵PA=PD=AD=4，
∴OP=2

3

，OD=OA=2，
得A(0，-2，0)，B(4，-2，0)，C(4，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2

3

)，E(0，-1，

3

)，F(xiàn)(2，-1，

3

)，G(4，0，0)，
故

EF

=(2，0，0)，

EG

=(4，1，-

3

)，
設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為n=（x，y，z）
則

n• EF =0 n• EG =0

，即

2x=0 4x+y- 3 z=0

取z=1，得n=(0，

3

，1)（7分）
平面ABCD的一個(gè)法向量為，n₁=（0，0，1）
平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值是：|cos＜n，n1＞=|

n•n1

|n||n1|

|=

1

2

，
銳二面角的大小是60°（8分）
（3）設(shè)AM=x，M（x，-2，0），則

MF

=(2-x，1，

3

)，
設(shè)MF與平面EFG所成角為θ，
則sinθ=|cos＜n，

MF

＞=|

n• MF

|n|| MF |

|=

3

(2-x)2+4

=

15

5

，x=1或x=3，
∵M(jìn)靠近A，∴x=1（10分）
∴當(dāng)AM=1時(shí)，MF與平面EFG所成角正弦值等于

15

5

．（12分）

方法2：（1）證明：過(guò)P作PO⊥AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，
則PO⊥平面ABCD，連OG，以O(shè)G，OD，OP為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，
（2分）
∵PA=PD=AD=4，∴OP=2

3

，OD=OA=2，
得A(0，-2，0)，B(4，-2，0)，C(4，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2

3

)，E(0，-1，

3

)，F(xiàn)(2，-1，

3

)，G(4，0，0)，
故

EF

=(2，0，0)，

AD

=(0，4，0)，

PD

=(0，2，-2

3

)，
∵

EF

•

AD

=0，

EF

•

PD

=0，
∴EF⊥平面PAD；（4分）
（2）解：

EF

=(2，0，0)，

EG

=(4，1，-

3

)，
設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），
則

n• EF =0 n• EG =0

，即

2x=0 4x+y- 3 z=0

取z=1，得n=(0，

3

，1)（7分）
平面ABCD的一個(gè)法向量為n₁=（0，0，1），以下同方法1

方法3：（I）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，（2分）
∵E、F為PA、PB的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，∴EF⊥平面PAD；（4分）
（2）解：∵EF∥HG，AB∥HG，∴HG是所二面角的棱，（6分）
∵HG∥EF，∴HG⊥平面PAD，∴DH⊥HG，EH⊥HG，
∴∠EHA是銳二面角的平面角，等于60°；（8分）
（3）解：過(guò)M作MK⊥平面EFG于K，連接KF，
則∠KFM即為MF與平面EFG所成角，（10分）
因?yàn)锳B∥EF，故AB∥平面EFG，故AB的點(diǎn)M到平面EFG的距離等于A到平面EFG的距離，
∵HG⊥平面PAD，∴平面EFGH⊥平面PBD于EH，
∴A到平面EFG的距離即三角形EHA的高，等于

3

，即MK=

3

，
∴

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5

=

3

FM

，FM=

5

，在直角梯形EFMA中，AE=EF=2，
∴AM=1或AM=3∵M(jìn)靠近A，∴AM=1（11分）
∴當(dāng)AM=1時(shí)，MF與平面EFG所成角正弦值等于

15

5

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：立體幾何中點(diǎn)線面的關(guān)系問(wèn)題的解決中常用的方法有三，一是用立體幾何的方法，二是用空間向量法，三是立體幾何與向量二者結(jié)合的方法．