Question

已知函數(shù)f（x）=log₄（ax²+2x+3）
（1）若f（1）=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（1）=1代入函數(shù)表達(dá)式，解出a=-1，再代入原函數(shù)得f（x）=log₄（-x²+2x+3），求出函數(shù)的定義域后，討論真數(shù)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)的單調(diào)性，即可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）先假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值為0，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可得真數(shù)t=ax²+2x+3≥1恒成立，且真數(shù)t的最小值恰好是1，再結(jié)合二次函數(shù)t=ax²+2x+3的性質(zhì)，可列出式子：

a＞0 f(- 1 a ) =0

，由此解出a=

1

2

，從而得到存在a的值，使f（x）的最小值為0．

解答：解：（1）∵f（x）=log₄（ax²+2x+3）且f（1）=1，
∴l(xiāng)og₄（a•1²+2×1+3）=1⇒a+5=4⇒a=-1
可得函數(shù)f（x）=log₄（-x²+2x+3）
∵真數(shù)為-x²+2x+3＞0⇒-1＜x＜3
∴函數(shù)定義域?yàn)椋?1，3）
令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
可得：當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，t為關(guān)于x的增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，t為關(guān)于x的減函數(shù)．
∵底數(shù)為4＞1
∴函數(shù)f（x）=log₄（-x²+2x+3）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，3）
（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值為0，
由于底數(shù)為4＞1，可得真數(shù)t=ax²+2x+3≥1恒成立，
且真數(shù)t的最小值恰好是1，
即a為正數(shù)，且當(dāng)x=-

2

2a

=-

1

a

時(shí)，t值為1．
∴

a＞0 a( - 1 a )2+2(- 1 a )+3 =1

⇒

a＞0 - 1 a +2 =0

⇒a=

1

2

因此存在實(shí)數(shù)a=

1

2

，使f（x）的最小值為0．

點(diǎn)評(píng)：本題借助于一個(gè)對(duì)數(shù)型函數(shù)，求單調(diào)性與最值的問題，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與值域和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．