Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）證明：函數(shù)在區(qū)間存在唯一的極小值點，且；

（2）證明：函數(shù)有且僅有兩個零點．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出，再說明在區(qū)間單調(diào)遞增，且，即可。

（2）驗證，即是函數(shù)的一個零點；說明當無零點；當時有且僅有一個零點。即得證。

證明：（1）由．

令，當時，函數(shù)為增函數(shù)，指數(shù)函數(shù)也為增函數(shù)，故當時，函數(shù)為增函數(shù)．

又因為，可得，有，

，故存在唯一的使得．

所以當時，即；當時，，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在區(qū)間存在唯一的極小值點，且．

（2）①由，可得是函數(shù)的一個零點；

②當時，，，可得，此時函數(shù)沒有零點；

③當時，由．

由（1）知，可得函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點．

綜上，函數(shù)有且僅有兩個零點．